Луч с началом в центре \(\displaystyle O\) окружности пересекает её в точке \(\displaystyle A{\small .}\)
Требуется отложить от этого луча угол величиной \(\displaystyle 30\degree {\small .}\)
Из предложенных фрагментов составьте краткие описания построений для двух способов решения этой задачи.
| Первый способ. Через половину угла равностороннего треугольника. | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
| Второй способ. Через угол, противолежащий катету, в два раза меньшему гипотенузы. | |
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | |
Спланируем построения обоими способами, ориентируясь на их заголовки в описаниях. Попутно подберём необходимые для заполнения таблицы фрагменты.
Величина искомого угла составляет половину величины угла равностороннего треугольника. Воспользуемся этим: построим равносторонний треугольник с вершиной \(\displaystyle A\) и одной из сторон на луче \(\displaystyle OA{\small .}\) Затем разделим угол при вершине \(\displaystyle A\) пополам.
Для того, чтобы это сделать, используем два известных правила, позволяющие
- построить треугольник по трём сторонам;
- провести биссектрису угла.
В качестве стороны равностороннего треугольника удобно использовать отрезок \(\displaystyle AO{\small ,}\) так как он дан изначально. Более того, уже построена окружность радиуса \(\displaystyle AO\) с центром \(\displaystyle O{\small .}\) Для построения третьей вершины по правилу нужна точка её пересечения с окружностью с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AO{\small .}\) Строим её. В одном из предложенных фрагментов точка пересечения окружностей обозначена буквой \(\displaystyle L{\small .}\) |  |
Остаётся провести луч \(\displaystyle OL~-\) вторую сторону равностороннего треугольника при вершине \(\displaystyle O{\small ,}\) и воспользоваться вторым правилом: провести биссектрису угла \(\displaystyle AOL{\small .}\) Проведённая биссектриса составит с исходным лучом \(\displaystyle OA\) угол величиной \(\displaystyle 30\degree {\small .}\) |  |
Рассмотрим искомый угол как уже построенный. Пусть вторая его сторона пересекает окружность, например, в точке \(\displaystyle K{\small .}\) В прямоугольном треугольнике углу величиной \(\displaystyle 30\degree \) противолежит катет в два раза меньший гипотенузы. Значит, расстояние от точки \(\displaystyle K\) до прямой \(\displaystyle AO\) равно половине радиуса: это расстояние измеряется катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой \(\displaystyle KO{\small .}\) |  |
Если теперь провести через точку \(\displaystyle K\) прямую, параллельную \(\displaystyle AO{\small ,}\) то расстояние от любой её точки до прямой \(\displaystyle AO\) по свойству параллелных прямых также будет равно половине радиуса исходной окружности. Получается, что радиус, перпендикулярный обеим параллельным прямым, делится одной из них пополам. Воспользуемся этим при построении: найдём точку \(\displaystyle K\) как точку пересечения с исходной окружностью серединного перпендикуляра к этому радиусу. |  |
Для реализации такого способа построения нужно:
|  |
Подходящие фрагменты находим и расставляем в три последние строки таблицы описаний.
| Ответ: |  |