Теория: 13 Задачи на построение

Радиус данной окружности, проведённый из её центра к точке касания со стороной угла, перпендикулярен касательной.      Значит, прямая, перпендикулярная прямой \(\displaystyle AB\) и проходящая через точку \(\displaystyle B\small,\) содержит радиус окружности. То есть проходит через её центр.

Другие варианты для первой фигуры не подходят. Все они представляют собой параллельные прямые. Центр окружности может попасть только на одну из таких прямых.

Поскольку все три точки \(\displaystyle B{\small ,\;}C\) и \(\displaystyle D\) принадлежат данной окружности, она по определению является описанной окружностью треугольника \(\displaystyle BCD{\small .}\) Центр описанной окружности треугольника принадлежит каждому из трёх серединных перпендикуляров к его сторонам.      Значит, второй из двух пересекающихся в поиске центра окружности фигур может быть серединный перпендикуляр к одной из сторон треугольника \(\displaystyle BCD{\small .}\)

Среди вариантов для второй фигуры находим серединные перпендикуляры к сторонам \(\displaystyle BD\) и \(\displaystyle CD{\small .}\)

Отметим, что найденная в прошлом пункте прямая обязательно пересекается с серединными перпендикулярами к сторонам треугольника \(\displaystyle BCD{\small .}\) Иначе один из них был бы параллелен прямой, перпендикулярной стороне \(\displaystyle AB\) исходного угла. Тогда одна из сторон треугольника была бы параллельна прямой \(\displaystyle AB{\small .}\) Это противоречит условию задачи.

\(\displaystyle 1{\small .}\) Окружность с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB\) не может содержать искомый центр окружности.

Радиус исходной окружности, проведённый в точку \(\displaystyle B\small,\) перпендикулярен прямой \(\displaystyle AB{\small .}\) Значит, прямая, содержащая этот радиус, по признаку касательной является касательной к окружности с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB\small.\) Точка \(\displaystyle B~-\) единственная их общая точка. Значит, центр исходной окружности не может принадлежать окружности с центром \(\displaystyle A\) и радиусом \(\displaystyle AB{\small .}\)

\(\displaystyle 2{\small .}\) Биссектриса угла \(\displaystyle A\) является геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла.

Если бы центр окружности был бы такой точкой, то прямые, содержащие стороны угла \(\displaystyle BAC{ \small ,}\) должны были бы иметь одинаковое взаимное расположение с окружностью. По условию же одна из сторон пересекает, а другая касается окружности.

\(\displaystyle 3{\small .}\)Прямая, перпендикулярная прямой \(\displaystyle AD\) и проходящая через точку \(\displaystyle C\small,\) параллельна серединному перпендикуляру к отрезку \(\displaystyle CD{\small .}\) Поскольку тот проходит через искомую точку, параллельная ему прямая её содержать не может.

Аналогично, параллельны прямым, проходящим через искомую точку, серединные перпендикуляры к отрезкам \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle AB{\small .}\)