На стороне \(\displaystyle DE\) треугольника \(\displaystyle ADE\) отмечена точка \(\displaystyle M{\small .}\)
Требуется найти на сторонах (или продолжениях сторон) \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle AE\) соответственно точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) такие, чтобы отрезок \(\displaystyle AM\) был медианой треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
Дополните одно из возможных построений треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | На продолжении отрезка |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | От луча Точку пересечения этого луча с проведённой стороной угла обозначаем \(\displaystyle C{\small .}\) |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | Проводим луч Точку его пересечения с лучом \(\displaystyle AD\) обозначаем \(\displaystyle B{\small .}\) |
Кроме длины медианы, по условию нам даны углы, которые медиана образует со сторонами искомого треугольника.
Набору данных из двух углов и длины отрезка соответствует известное правило построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Попробуем найти треугольник, в котором два угла равны данным по условию углам, которые медиана составляет со сторонами.
Если продлить медиану на её собственную длину за общую её точку со стороной \(\displaystyle BC{\small ,}\) то образуется пара равных треугольников. На рисунке они обозначены как \(\displaystyle ABM\) и \(\displaystyle NCM{\small .}\) Равны они по первому признаку, так как две пары равных сторон \(\displaystyle AM=MN\) и \(\displaystyle BM=CM\) прилежат к вертикальным углам при общей вершине \(\displaystyle M{\small .}\) |  |
Равенство треугольников влечёт равенство их углов \(\displaystyle BAM\) и \(\displaystyle CNM{\small ,}\) расположенных напротив равных сторон.
Значит, в треугольнике \(\displaystyle ACN{\text :}\)
- сторона \(\displaystyle AN\) задана условием задачи, так как представляет собой удвоенную медиану;
- углы, прилежащие к стороне \(\displaystyle AN{\small ,}\) заданы условием задачи, так как равны углам, которые медиана образует со сторонами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small .}\)
Если построить этот треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам, то мы получим его сторону \(\displaystyle AC{\small .}\)
Поскольку точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle M\) определяют прямую, содержащую сторону \(\displaystyle BC\) искомого треугольника, задача будет решена.
\(\displaystyle ~~~1{\small .}\) Для "удвоения" медианы отрезок \(\displaystyle MN\) следует откладывать на продолжении отрезка \(\displaystyle AM{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~2{\small .}\) Чтобы получить треугольник с вершиной \(\displaystyle C\) на луче \(\displaystyle AE{ \small ,}\) следует откладывать угол, равный углу \(\displaystyle DAM{\small .}\) Этот угол откладывается от луча \(\displaystyle NA\) так, чтобы построенная его сторона пересеклась с лучом \(\displaystyle AE{\small .}\) Это происходит в точке \(\displaystyle C~-\) одной из вершин искомого треугольника. |  |
\(\displaystyle ~~~3{\small .}\) Для того чтобы найти оставшуюся вершину \(\displaystyle B\) искомого треугольника, можно провести луч \(\displaystyle CM{\small .}\) Ему принадлежат две точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle M\) стороны \(\displaystyle BC\) искомого треугольника. Значит, он пересечёт сторону \(\displaystyle AD\) угла \(\displaystyle DAE\) в вершине \(\displaystyle B\) искомого треугольника. |  |
| Ответ: |  |