В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой \(\displaystyle 10\) мг. За каждые \(\displaystyle 20\) минут масса колонии увеличивается в \(\displaystyle 3\) раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через \(\displaystyle 80\) минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Пусть \(\displaystyle b_1\) – масса колонии в начальный момент времени,
\(\displaystyle b_2\) – масса через \(\displaystyle 20\) минут,
\(\displaystyle b_3\) – масса через \(\displaystyle 40\) минут,
\(\displaystyle b_4\) – масса колонии через \(\displaystyle 60\) минут,
\(\displaystyle b_5\) – масса колонии через \(\displaystyle 80\) минут.
По условию каждые \(\displaystyle 20\) минут масса колонии увеличивается в \(\displaystyle 3\) раза.
Следовательно, \(\displaystyle b_{n+1}=b_n \cdot 3\) для всех \(\displaystyle n\) от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 4{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle b_1{\small;}\ \, b_2{\small;}\ \ldots{\small;}\ b_{5} \)
– геометрическая прогрессия с первым членом \(\displaystyle b_1=10 \) и знаменателем \(\displaystyle q=3{\small .}\)
В задаче требуется найти \(\displaystyle b_5{\small .}\)
По формуле \(\displaystyle n\)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_5=b_1\cdot q^4\)
получаем:
\(\displaystyle b_5=10\cdot 3^4{\small ,} \)
\(\displaystyle b_5=10\cdot 81{\small ,} \)
\(\displaystyle b_5=810{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 810{\small .}\)