В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые \(\displaystyle 7\) минут. В начальный момент масса изотопа составляла \(\displaystyle 640\) мг. Найдите массу изотопа через \(\displaystyle 42\) минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Пусть \(\displaystyle b_1\) – масса изотопа в начальный момент времени,
\(\displaystyle b_2\) – масса изотопа через \(\displaystyle 7\) минут,
\(\displaystyle b_3\) – масса изотопа через \(\displaystyle 14\) минут,
\(\displaystyle b_4\) – масса изотопа через \(\displaystyle 21\) минуту,
\(\displaystyle b_5\) – масса изотопа через \(\displaystyle 28\) минут,
\(\displaystyle b_6\) – масса изотопа через \(\displaystyle 35\) минут,
\(\displaystyle b_7\) – масса изотопа через \(\displaystyle 42\) минуты.
По условию масса изотопа уменьшается вдвое каждые \(\displaystyle 7\) минут.
Следовательно, \(\displaystyle b_{n+1}=b_n \cdot \frac{1}{2}\) для всех \(\displaystyle n\) от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 6{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle b_1{\small;}\ b_2{\small;}\ \ldots{\small;}\ b_{7} \)
– геометрическая прогрессия с первым членом \(\displaystyle b_{1}=640\) и знаменателем \(\displaystyle q=\frac{1}{2}{\small .}\)
В задаче требуется найти \(\displaystyle b_7{\small .}\)
По формуле \(\displaystyle n\)-го члена геометрической прогрессии
\(\displaystyle b_7=b_1\cdot q^6\)
получаем:
\(\displaystyle b_7=640\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6{\small ,} \)
\(\displaystyle b_7=640\cdot \frac{1}{64}{\small ,} \)
\(\displaystyle b_7=10{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 10{\small .}\)