Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория–туфелька размножается делением на \(\displaystyle 2\) части. Сколько инфузорий было первоначально, если после пятикратного деления их стало \(\displaystyle 800{\small ?}\)
Пусть \(\displaystyle b_1\) – количество инфузорий–туфелек в начальный момент времени,
\(\displaystyle b_2\) – количество инфузорий–туфелек после первого деления,
\(\displaystyle b_3\) – количество после второго деления,
\(\displaystyle b_4\) – количество после третьего деления,
\(\displaystyle b_5\) – количество инфузорий–туфелек после четвертого деления,
\(\displaystyle b_6\) – количество инфузорий–туфелек после пятого деления.
По условию, простейшее одноклеточное животное инфузория–туфелька размножается делением на \(\displaystyle 2\) части.
Следовательно, \(\displaystyle b_{n+1}=b_n \cdot 2\) для всех \(\displaystyle n\) от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 5{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle b_1{\small;}\ \, b_2{\small;}\ \ldots{\small;}\ b_{6} \)
– геометрическая прогрессия со знаменателем \(\displaystyle q=2{\small .}\)
В задаче требуется найти \(\displaystyle b_1{\small .}\)
По условию \(\displaystyle b_{6}=800{\small .}\)
По формуле \(\displaystyle n\)-го члена геометрической прогрессии,
\(\displaystyle b_6=b_1\cdot q^5\)
получаем:
\(\displaystyle 800=b_1\cdot 2^5{\small .} \)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle 800=b_1\cdot 32{\small ,} \)
\(\displaystyle b_1=\frac{800}{32}=25{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 25{\small .}\)