Skip to main content

Теория: 0204 Диагонали многоугольника

Скриншот экрана
  Скачать
Задание

Сколько диагоналей выходит из каждой вершины десятиугольника?

Выберите верный ответ:

Решение

Информация

Диагонали многоугольника – отрезки между его вершинами, которые не являются его сторонами.

     Рассмотрим одну из вершин десятиугольника. Для удобства обозначим её буквой \(\displaystyle A\small.\)

     Всего вершин \(\displaystyle 10\small.\) Одна из них \(\displaystyle A\small.\) Значит, остается \(\displaystyle 9\) вершин, с которыми вершина \(\displaystyle A\) может быть связана отрезками.

     С двумя из этих \(\displaystyle 9\) вершин вершина \(\displaystyle A\) соединена сторонами десятиугольника, то есть эти отрезки не являются диагоналями.

     А к оставшимся \(\displaystyle \color{orange}7\) вершинам можно провести диагонали из вершины \(\displaystyle A\small.\)  

Значит, количество диагоналей, которые можно провести из одной вершины десятиугольника, рассчитывается как \(\displaystyle 10-3=7\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 7\small.\)

Замечание / комментарий

Отметим, что аналогичные рассуждения верны для любого многоугольника.

То есть из каждой вершины \(\displaystyle n\)-угольника можно провести ровно \(\displaystyle n-3\) диагоналей.