Найдите уравнение прямой, проходящей через точки через точки \(\displaystyle A(1;\, -1)\) и \(\displaystyle B(3;\, 4)\,{\small :}\)
Прямая задается:
- либо уравнением \(\displaystyle y=kx+b{\small ,}\) для некоторых чисел \(\displaystyle k,\, b\) (то есть является графиком линейной функции),
- либо уравнением \(\displaystyle x=a{\small ,}\) для некоторого числа \(\displaystyle a{\small .}\)
Отметим на рисунке точки \(\displaystyle A(1;\, -1)\) и \(\displaystyle B(3;\, 4)\) и проведем через них прямую:
Тогда из рисунка следует, что прямая задается уравнением \(\displaystyle y=kx+b \) (так как прямая \(\displaystyle x=a \) параллельна оси OY).
Подставим координаты точек \(\displaystyle A(1;\, -1)\) и \(\displaystyle B(3;\, 4)\) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b\,{\small . } \)
Точка \(\displaystyle A(\color{blue}{ 1};\color{green}{-1}) \) с координатами \(\displaystyle x=\color{blue}{ 1}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -1}{\small , }\) поэтому
\(\displaystyle \color{green}{-1}=k\cdot \color{blue}{ 1}+b \)
или, что то же самое,
\(\displaystyle k+b=-1{\small . }\)
Точка \(\displaystyle B(\color{blue}{ 3};\color{green}{ 4}) \) с координатами \(\displaystyle x=\color{blue}{ 3}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ 4}{\small , }\) поэтому
\(\displaystyle \color{green}{ 4}=k\cdot \color{blue}{ 3}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 3k+b=4{\small . } \)
Мы получили два уравнения для коэффициентов \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) и можем записать систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} k+b&=-1{\small , }\\ 3k+b&=4{\small . } \end{aligned} \right. \)
Решим эту систему.
Таким образом, \(\displaystyle k=\frac{ 5}{ 2}\) и \(\displaystyle b=-\frac{ 7}{ 2}{\small . } \)
Подставляя найденные значения для \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b{\small , } \) получаем:
\(\displaystyle y=\frac{ 5}{ 2}x-\frac{ 7}{ 2}{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle y={\bf \frac{ 5}{ 2}x-\frac{ 7}{ 2}}{\small . } \)