Найдите без округления значение корня с точностью до десятых:
\(\displaystyle \sqrt{19}=\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle \ldots\)
Для любых натуральных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}+b} \approx a+\frac{b}{2a}{\small .}\)
Наибольшее число, являющиеся квадратом натурального числа, которое меньше \(\displaystyle 19{\small , }\) – это \(\displaystyle \color{blue}{16}=\color{blue}{4^2}{\small .}\)
Тогда можно записать:
\(\displaystyle 19=\color{blue}{16}+\color{green}{3}=\color{blue}{4^2}+\color{green}{3}{\small .}\)
Применим формулу, дающую приближенное значение корня:
\(\displaystyle \sqrt{19}=\sqrt{\color{blue}{4^{\,2}}+\color{green}{3}}\approx \color{blue}{4}+\frac{\color{green}{3}}{2\cdot\color{blue}{4}}=4{,}375{\small .}\)
Найдем приближенное значение корня с точностью до десятых, опираясь на факт, что \(\displaystyle \sqrt{19} \approx 4{,}375{\small .}\)
Действительно,
\(\displaystyle (4{,}2)^2=17{,}64<19{\small ,}\)
\(\displaystyle (4{,}3)^2=18{,}49<19{\small ,}\)
\(\displaystyle (4{,}4)^2=19{,}36>19{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle (4{,}3)^2<19<(4{,}4)^2{\small ,}\)
\(\displaystyle \sqrt{(4{,}3)^2}<\sqrt{19}<\sqrt{(4{,}4)^2}{\small ,}\)
\(\displaystyle 4{,}3<\sqrt{19}<4{,}4{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \sqrt{19}=4{,}3\ldots \)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{19}=4{,}3\ldots \)