Сравните числа:
\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\)\(\displaystyle 9\)
Число \(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\) положительно как сумма положительных корней.
Сравним два положительных числа \(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\) и \(\displaystyle 9{\small .}\)
Обозначим неизвестный знак как \(\displaystyle \color{green}{ \vee} {\small .}\) Тогда
\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33} \color{green}{ \vee} 9 {\small . } \)
Если положительные числа возвести в квадрат, то знак неравенства сохранится, то есть
\(\displaystyle (\sqrt{8}+\sqrt{33})^2 \color{green}{ \vee} 9^2 {\small , } \)
\(\displaystyle 8+2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33}+33 \color{green}{ \vee} 81 {\small . } \)
Перенесем все числа в правую часть неравенства, а выражение с корнем оставим в левой части:
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ \vee} 81 -33 -8{\small , } \)
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ \vee} 40{\small . } \)
Для того чтобы сравнить два положительных числа \(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33}\) и \(\displaystyle 40{\small ,}\) сравним квадраты этих чисел:
\(\displaystyle (2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33})^2 \color{green}{ \vee} 40^2{\small , } \)
\(\displaystyle 2^2\cdot (\sqrt{8}\,)^2 \cdot (\sqrt{33}\,)^2 \color{green}{ \vee} 1600{\small , } \)
\(\displaystyle 4\cdot 8 \cdot 33 \color{green}{ \vee} 1600{\small , } \)
\(\displaystyle 1056 \color{green}{ \vee} 1600{\small .} \)
Так как
\(\displaystyle 1056 \color{green}{ <} 1600{\small ,} \)
то
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ <} 40{\small .} \)
Таким образом, искомый знак неравенства \(\displaystyle \color{green}{ \vee}\) – это \(\displaystyle \color{green}{ <} {\small .}\) Следовательно,
\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33} \color{green}{ <} 9 {\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{8}+ \sqrt{33} \color{green}{ <} 9{\small . } \)
Оценка корня
Сравнить числовые выражения \(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\) и \(\displaystyle 9\) можно, представляя корень из числа как десятичную дробь.
Так как
\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{8}=2{,}8\ldots}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{33}=5{,}7\ldots}\)
то
\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{8}}+\color{blue}{\sqrt{33}}=\color{green}{2{,}8\ldots}+\color{blue}{5{,}7\ldots} < 9 {\small .}\)
И, следовательно,
\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33} < 9 {\small . } \)