Вывод формулы для решения приведенного квадратного уравнения
\(\displaystyle X^2+bX+c=0{\small .}\)
Дискриминант \(\displaystyle {\rm \color{red}{D}}=b^2-4c{\small .}\)
\(\displaystyle X_{1}=\frac{-b+\sqrt{\color{red}{\rm D}}}{2}{\small ,}\)
\(\displaystyle X_{2}=\frac{-b-\sqrt{\color{red}{\rm D}}}{2}{\small .}\)
Сначала напомним формулу квадрата суммы:
\(\displaystyle (X+\beta)^2=X^2+2\cdot \beta \cdot X+\beta^2{\small .}\)
Перепишем квадратный трехчлен следующим образом:
\(\displaystyle X^2+bX+c=X^2+{\bf 2}\cdot \frac{b}{\bf 2}\cdot X+c{\small . }\)
Тогда можно добавить и вычесть \(\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2{\small, }\) чтобы первые три слагаемых давали квадрат суммы:
\(\displaystyle \begin{aligned}X^2+2\cdot \frac{b}{2}\cdot X+c&=X^2+2\cdot \frac{b}{2}\cdot X+\overbrace{\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}^{0}+c=\\[5pt]&=\underbrace{\color{green}{X^2+2\cdot \frac{b}{2}\cdot X+\left(\frac{b}{2}\right)^2}}_{\color{green}{\left(X+\frac{b}{2}\right)^2}}-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=\left(X+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c{\small.}\end{aligned}\)
Поэтому уравнение
\(\displaystyle X^2+bX+c=0\)
равносильно уравнению
\(\displaystyle \left(X+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c=0{\small.}\)
Решим данное элементарное квадратное уравнение, перенося все числа вне квадрата в правую часть:
\(\displaystyle \left(X+\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2-c{\small.}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(\displaystyle \left(X+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2-4c}{4}{\small.}\)
Обозначим за \(\displaystyle {\rm D}=b^2-4c\) и назовем данное выражение дискриминантом квадратного уравнения. Тогда
\(\displaystyle \left(X+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{{\rm D}}{4}{\small.}\)
Извлекаем корень из правой части со знаками \(\displaystyle +\) и \(\displaystyle -\,{\small:}\)
\(\displaystyle X_1+\frac{b}{2}=\sqrt{\frac{{\rm D}}{4}}\) или \(\displaystyle X_2+\frac{b}{2}=-\sqrt{\frac{{\rm D}}{4}}{\small , }\)
\(\displaystyle X_1+\frac{b}{2}=\frac{\sqrt{{\rm D}}}{2}\) или \(\displaystyle X_2+\frac{b}{2}=\frac{-\sqrt{{\rm D}}}{2}{\small . }\)
Переносим \(\displaystyle \frac{b}{2}\) вправо с противоположным знаком (то есть вычитаем из обоих частей):
\(\displaystyle X_1=-\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{{\rm D}}}{2}\) или \(\displaystyle X_2=-\frac{b}{2}+\frac{-\sqrt{{\rm D}}}{2}{\small . }\)
Таким образом,
\(\displaystyle X_{1}=\frac{-b+\sqrt{\color{red}{{\rm D}}}}{2}{\small ,}\)
\(\displaystyle X_{2}=\frac{-b-\sqrt{\color{red}{{\rm D}}}}{2}{\small ,}\)
где \(\displaystyle \color{red}{{\rm D}}=b^2-4c\) – дискриминант квадратного уравнения.