Теорема Виета
Пусть \(\displaystyle \color{blue}{x_1}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle ax^2+bx+c=0{\small .}\)
Тогда верно, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{blue}{ x_1}+\color{blue}{ x_2}&=-\frac{b}{a}{ \small ,}\\[5px]\color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_2}&=\frac{c}{a} {\small ;}\end{aligned}\right. \)
Разложим квадратное уравнение на множители:
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2){ \small ,} \)
где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни уравнения.
Разделим обе части выражения на \(\displaystyle \color{red}{ a}{\small : } \)
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\, | :\color{red}{ a}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{ax^2+bx+c}{\color{red}{ a}}=\frac{a(x-x_1)(x-x_2)}{\color{red}{a}}{ \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{ax^2}{\color{red}{ a}}+\frac{bx}{\color{red}{ a}}+\frac{c}{\color{red}{a}}=\frac{a(x-x_1)(x-x_2)}{\color{red}{a}}{ \small ,} \)
\(\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}= (x-x_1)(x-x_2){\small .}\)
Раскроем скобки в правой части:
\(\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}= x(x-x_2)-x_1(x-x_2){\small ;}\)
\(\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}= x^2-x\cdot x_2-x_1\cdot x+x_1\cdot x_2{\small .}\)
Группируя в правой части по степеням \(\displaystyle x{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}= x^2+(-x_1-x_2)x+x_1\cdot x_2{\small .}\)
Слева и справа в получившемся выражении стоят многочлены. Они равны в том и только в том случае, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях \(\displaystyle x{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \frac{b}{a}&= -x_1-x_2{ \small ,}\\\frac{c}{a}&=x_1x_2 \end{aligned}\right. \)
или
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=-\frac{b}{a}{ \small ,}\\x_1x_2&=\frac{c}{a} {\small ,}\end{aligned}\right. \)
что и требовалось получить.