Skip to main content

Теория: Теория решений квадратных уравнений

Задание

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{blue}{x_1}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{blue}{ x_1}+\color{blue}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{blue}{x_1}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Решение

Пусть числа \(\displaystyle \color{blue}{x_1}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{blue}{ x_1}+\color{blue}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right.\)

Из данной системы следует, что \(\displaystyle \color{blue}{ x_1}=-\color{blue}{ x_2}-b.\) Подставим во второе уравнение,

\(\displaystyle \color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_2}=c,\)

\(\displaystyle (-\color{blue}{ x_2}-b)\cdot \color{blue}{ x_2}=c,\)

\(\displaystyle -\color{blue}{ x_2}\cdot \color{blue}{ x_2} -b\cdot \color{blue}{ x_2}=c,\)

\(\displaystyle -\color{blue}{ x_2}\cdot \color{blue}{ x_2} -b\cdot \color{blue}{ x_2}-c=0,\)

умножаем на \(\displaystyle -1\) обе части уравнения,

\(\displaystyle \color{blue}{ x_2}^2 +b\color{blue}{ x_2}+c=0.\)

То есть \(\displaystyle \color{blue}{ x_2}\) – корень уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Аналогично, \(\displaystyle \color{blue}{ x_1}\) – корень уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

\(\displaystyle \color{blue}{ x_1}\) – корень уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Из данной системы следует, что \(\displaystyle \color{blue}{ x_2}=-\color{blue}{ x_1}-b.\) Подставим во второе уравнение,

\(\displaystyle \color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_2}=c,\)

\(\displaystyle \color{blue}{ x_1} \cdot (-\color{blue}{ x_1}-b)=c,\)

\(\displaystyle -\color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_1} -b\cdot \color{blue}{ x_1}=c,\)

\(\displaystyle -\color{blue}{ x_1}\cdot \color{blue}{ x_1} -b\cdot \color{blue}{ x_1}-c=0,\)

умножаем на \(\displaystyle -1\) обе части уравнения,

\(\displaystyle \color{blue}{ x_1}^2 +b\color{blue}{ x_1}+c=0.\)

То есть \(\displaystyle \color{blue}{ x_1}\) – корень уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)