Теория: Решение квадратного неравенства геометрическим способом

Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle x^2-5x+6\ge 0{\small .} \)

Для параболы \(\displaystyle y=x^2-5x+6 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\ge 0{\small .} \)

То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) так  и на самой оси.

Значит, для решения неравенства \(\displaystyle x^2-5x+6\ge 0 \) надо:

• найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small ;} \)
• начертить график параболы \(\displaystyle y=x^2-5x+6 \) с учетом найденных точек пересечения;
• записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как выше оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,} \) так и на ней.

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle x^2-5x+6=0{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=1{\small . } \)

Тогда корни уравнения равны

\(\displaystyle x_{1{ \small ,}2}= \frac{ -b\pm \sqrt{ \rm D} }{ 2a }{\small ; }\)

\(\displaystyle x_1=\frac{ -(-5)+\sqrt{ 1} }{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -(-5)-\sqrt{ 1} }{ 2 } { \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=3{ \small ,}\, x_2=2 { \small .}\)

Начертим график параболы с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small :} \)

Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,} \) так и на ней:

Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:

Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (включая точки пересечения, так как в них \(\displaystyle x^2-5x+6=0\)).

Следовательно, искомое решение – это все точки прямой левее \(\displaystyle 2 \) и правее \(\displaystyle 3{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle 2 \) и \(\displaystyle 3{\small :}\)

Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:

Это точки с координатой \(\displaystyle x \) меньше либо равной \(\displaystyle 2 \) или больше либо равной \(\displaystyle 3{ \small .} \)

То есть это все точки на прямой \(\displaystyle \rm OX\), для которых \(\displaystyle x\le 2 \) или \(\displaystyle x\ge 3{\small .} \)

Переписывая это в виде интервала, получаем:

\(\displaystyle x\in (-\infty;\,2]\cup [3;\, +\infty){\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\,2]\cup [3;\, +\infty){\small .}\)