Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции:
\(\displaystyle x^2+3x+10\ge 0{\small .}\)
Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle x^2+3x+10\ge 0{\small .} \)
Для параболы \(\displaystyle y=x^2+3x+10 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\ge 0{\small .} \)
То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) так и на самой оси.
Значит, для решения неравенства \(\displaystyle x^2+3x+10\ge 0 \) надо:
- найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle x^2+3x+10=0{\small ;} \)
- начертить график параболы \(\displaystyle y=x^2+3x+10 \) с учетом найденных точек пересечения;
- записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение
\(\displaystyle x^2+3x+10=0{\small .} \)
Найдем дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)
\(\displaystyle {\rm D}=3^2-4\cdot 1\cdot 10{\small ; } \)
\(\displaystyle {\rm D}=-31<0{\small . } \)
Поскольку дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений, а парабола не имеет точек пересечения с осью \(\displaystyle \rm OX \) и целиком лежит над осью \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)
Начертим график параболы:
Выделим красным цветом точки параболы, лежащие выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small : }\)
Это все точки параболы.
Значит, решение неравенства – вся ось \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)
Записывая это в виде интервала, получаем:
\(\displaystyle x\in (-\infty;\,+\infty){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\,+\infty){\small .}\)