Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (НОК по алгоритму Евклида)

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

 

\(\displaystyle \frac{5}{14}-\frac{8}{35}\,=\)
 

 

Решение

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

Для того чтобы найти разность дробей

\(\displaystyle \frac{5}{14}-\frac{8}{35}\),

 

приведем их к наименьшему общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle 14=2\cdot 7\) (разложение на простые).

Знаменатель второй дроби равен \(\displaystyle 35=5\cdot 7\) (разложение на простые).

Наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 14=2\cdot 7\) и \(\displaystyle 35=5\cdot 7\) (см. темы НОК и разложение на простые множители) равно

 

\(\displaystyle НОК(14, 35)=2\cdot 5\cdot 7 =70\).

 

Следовательно, \(\displaystyle 2\cdot 5\cdot 7 =70\) - наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{5}{14}\) и \(\displaystyle \frac{8}{35}\).

Тогда

\(\displaystyle \frac{5}{14}=\frac{5\cdot {\bf 5}}{14\cdot {\bf 5}}=\frac{25}{70}\)

и

\(\displaystyle \frac{8}{35}=\frac{8\cdot {\bf 2}}{35\cdot {\bf 2}}=\frac{16}{70}\).

 

Теперь можно вычесть дроби, заменяя каждую из них на дробь с общим знаменателем,

 

\(\displaystyle \frac{5}{14}-\frac{8}{35}=\frac{5\cdot 5}{14\cdot 5}-\frac{8 \cdot 2}{35\cdot 2}=\frac{25}{70}-\frac{16}{70}=\frac{25-16}{70}=\frac{9}{70}\).

 

Ответ: \(\displaystyle \frac{9}{70}\).