Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}-\frac{1}{5\cdot 22}\,=\) |
Наименьший общий знаменатель
Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.
Для того чтобы найти разность дробей
\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}-\frac{1}{5\cdot 22}{\small ,}\)
приведем их к наименьшему общему знаменателю.
Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle 14\cdot 15=2\cdot 7\cdot 3\cdot 5\) (разложение на простые).
Знаменатель второй дроби равен \(\displaystyle 5\cdot 22=5\cdot 2 \cdot 11\) (разложение на простые).
Наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 14\cdot 15=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\) и \(\displaystyle 5\cdot 22=2\cdot 5\cdot 11\) (см. темы НОК и разложение на простые множители) равно
\(\displaystyle НОК(14\cdot 15, 5\cdot 22)=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdot 11=2310{\small ,}\)
следовательно, \(\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdot 11=2310\) - наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}\) и \(\displaystyle \frac{1}{5\cdot 22}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}=\frac{10\cdot {\bf 11}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot {\bf11}}=\frac{110}{2310}\)
и
\(\displaystyle \frac{1}{5\cdot 22}=\frac{1\cdot {\bf 3} \cdot {\bf 7}}{2\cdot 5\cdot 11\cdot {\bf 3} \cdot {\bf 7}}=\frac{21}{2310}{\small .}\)
Теперь можно вычесть дроби, заменяя каждую из них на дробь с общим знаменателем:
\(\displaystyle \frac{10}{14\cdot 15}-\frac{1}{5\cdot 22}=\frac{10\cdot 11}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11}-\frac{1\cdot 3 \cdot 7}{2\cdot 5\cdot 11\cdot 3\cdot 7}=\)
\(\displaystyle =\frac{110}{2310}-\frac{21}{2310}=\frac{110-21}{2310}=\frac{89}{2310}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{89}{2310}{\small .}\)