Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\,=\) |
Наименьший общий знаменатель
Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.
Для того чтобы найти разность дробей \(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}{\small ,}\) приведем их к наименьшему общему знаменателю.
Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle 136{\small .}\)
Знаменатель второй дроби равен \(\displaystyle 255{\small .}\)
Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\) (см. темы НОК и алгоритм Евклида),
\(\displaystyle НОК(136, 255)=\frac{136\cdot 255}{НОД(136, 255)}{\small ,}\)
где \(\displaystyle НОД(255, 136)=17{\small .}\)
Вычислим \(\displaystyle НОД(255, 136)\) согласно алгоритму Евклида:
Шаг 1.
1. \(\displaystyle 255=136+119{\small .}\)
2. \(\displaystyle НОД(136, 255)=НОД(136, 119){\small .}\)
3. \(\displaystyle 119 =\not 0{\small .}\)
Шаг 2.
\(\displaystyle НОД(136, 119)=НОД(119, 136){\small .}\)
1. \(\displaystyle 136=119+17{\small .}\)
2. \(\displaystyle НОД(119,136)=НОД(119, 17){\small .}\)
3. \(\displaystyle 17 =\not 0{\small .}\)
Шаг 3.
\(\displaystyle НОД(119, 17)=НОД(17, 119){\small .}\)
1. \(\displaystyle 119=7\cdot 17+0{\small .}\)
2. \(\displaystyle НОД(17, 119)=НОД(17, 0)=17{\small .}\)
Теперь мы можем вычислить наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255{\small :}\)
\(\displaystyle НОК(136, 255)=\frac{136\cdot 255}{НОД(136, 255)}=\frac{34680}{17}=2040{\small .}\)
Запишем
\(\displaystyle 2040={\bf 15}\cdot 136{\small ,}\)
\(\displaystyle 2040={\bf 8}\cdot 255{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{97}{136}=\frac{97\cdot {\bf 15}}{136\cdot {\bf 15}}=\frac{1455}{2040}\)
и
\(\displaystyle \frac{47}{255}=\frac{47\cdot {\bf 8} }{255\cdot {\bf 8}}=\frac{376}{2040}{\small .}\)
Теперь можно вычесть дроби, заменяя каждую из них на дробь с общим знаменателем:
\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}=\frac{97\cdot 15}{136\cdot 15}-\frac{47\cdot 8}{255\cdot 8}=\frac{1455}{2040}-\frac{376}{2040}=\frac{1455-376}{2040}=\frac{1079}{2040}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1079}{2040}{\small .}\)