Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (НОК по алгоритму Евклида)

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

 

\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\,=\)
 

 

Решение

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

Для того чтобы найти разность дробей \(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\), приведем их к наименьшему общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби равен \(\displaystyle 136\).

Знаменатель второй дроби равен \(\displaystyle 255\).

Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\) (см. темы НОК и алгоритм Евклида),

 

\(\displaystyle НОК(136, 255)=\frac{136\cdot 255}{НОД(136, 255)}\),

 

где \(\displaystyle НОД(255, 136)=17\).

Вычислим \(\displaystyle НОД(255, 136)\) согласно алгоритму Евклида:

 

Шаг 1.

1. \(\displaystyle 255=136+119\).

2. \(\displaystyle НОД(136, 255)=НОД(136, 119)\).

3. \(\displaystyle 119 =\not 0\).

 

Шаг 2.

\(\displaystyle НОД(136, 119)=НОД(119, 136)\).

1. \(\displaystyle 136=119+17\).

2. \(\displaystyle НОД(119,136)=НОД(119, 17)\).

3. \(\displaystyle 17 =\not 0\).

 

Шаг 3.

\(\displaystyle НОД(119, 17)=НОД(17, 119)\).

1. \(\displaystyle 119=7\cdot 17+0\).

2. \(\displaystyle НОД(17, 119)=НОД(17, 0)=17\).

 

Теперь мы можем вычислить наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\):

 

\(\displaystyle НОК(136, 255)=\frac{136\cdot 255}{НОД(136, 255)}=\frac{34680}{17}=2040\).

Запишем

\(\displaystyle 2040={\bf 15}\cdot 136\),

\(\displaystyle 2040={\bf 8}\cdot 255\).

Тогда

\(\displaystyle \frac{97}{136}=\frac{97\cdot {\bf 15}}{136\cdot {\bf 15}}=\frac{1455}{2040}\)

и

\(\displaystyle \frac{47}{255}=\frac{47\cdot {\bf 8} }{255\cdot {\bf 8}}=\frac{376}{2040}\).

 

Теперь можно вычесть дроби, заменяя каждую из них на дробь с общим знаменателем,

 

\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}=\frac{97\cdot 15}{136\cdot 15}-\frac{47\cdot 8}{255\cdot 8}=\frac{1455}{2040}-\frac{376}{2040}=\frac{1455-376}{2040}=\frac{1079}{2040}\).

 

Ответ: \(\displaystyle \frac{1079}{2040}\).