Найти первый член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_1{ \small ,}\) если
\(\displaystyle a_3 = 1{ \small ,}\, a_5 = 5{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle a_3 \) и \(\displaystyle a_5{\small : } \)
\(\displaystyle a_3 = a_1 + 2d\) и \(\displaystyle a_5 = a_1 + 4d{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_3=1 \) и \(\displaystyle a_5=5{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 2d=1{ \small ,}\\a_1 + 4d=5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=1-2d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (1-2d)+4d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1-2d+4d=5{ \small ,}\)
\(\displaystyle -2d+4d=5-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle 2d = 4{ \small ,}\)
\(\displaystyle d = 2{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=1-2d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=1-2\cdot 2{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-3{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -3{\small .}\)