Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом является пустое множество):
\(\displaystyle \frac{x^2-7x+12}{x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33}=0{\small .}\)
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x^2-7x+12}{x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \\[-5px]\left\{\begin{aligned}x^2-7x+12&=0{ \small ,}\\x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=3 \text{ \small или }x=4{\small ;}\\&x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Необходимо исключить корни числителя, которые обращают знаменатель в ноль.
Для этого можно:
- либо найти все корни знаменателя,
- либо подставить корни числителя в знаменатель и исключить те, которые обращают его в ноль.
Так как знаменатель дает кубическое неравенство \(\displaystyle x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33=\not0{ \small ,}\) то более удобно вычислить значение знаменателя в каждом из корней.
1) Подставляем \(\displaystyle x=3\) в \(\displaystyle x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33{\small : }\)
\(\displaystyle 3^3-10\cdot 3^2+32\cdot 3-33=27-90+96-33=0{\small .}\)
2) Подставляем \(\displaystyle x=4\) в \(\displaystyle x^3 - 10 x^2 + 32 x - 33{\small : }\)
\(\displaystyle 4^3-10\cdot 4^2+32\cdot 4-33=64-160+128-33=-1=\not0{\small .}\)
Таким образом,
- \(\displaystyle x=3\) не является корнем уравнения, так как обращает заменатель в ноль,
- \(\displaystyle x=4\) является корнем уравнения, так как не обращает заменатель в ноль.
Ответ: \(\displaystyle 4{\small .}\)