Для данного неравенства \(\displaystyle (x-1)^2(x+2)^7 \ge 0\) укажите знаки, принимаемые выражением \(\displaystyle (x-1)^2(x+2)^7\) на промежутках.
Обозначим \(\displaystyle f(x)=(x-1)^2(x+2)^7{\small .} \) Определим знаки функции \(\displaystyle f(x) \) на соответствующих интервалах.
Для нахождения знака функции на интервале возьмем произвольное значение переменной из этого интервала и подставим его в функцию.
Сопоставим по порядку для функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)^2(x+2)^7\) данные интервалы и значение переменной из этого интервала.
| Интервал | Число из интервала | Значение функции на интервале |
| \(\displaystyle (-\infty;-2) \) | \(\displaystyle x=-3 \) | \(\displaystyle f(-3) \) |
| \(\displaystyle (-2;1) \) | \(\displaystyle x=0 \) | \(\displaystyle f(0) \) |
| \(\displaystyle (1;+\infty) \) | \(\displaystyle x=2 \) | \(\displaystyle f(2) \) |
Найдем знаки функции на полученных интервалах.
Найдем значение функции \(\displaystyle f(-3).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=(\color{red}{ x}-1)^2(\color{red}{ x}+2)^7{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-3{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ -3})=(\color{red}{ -3}-1)^2(\color{red}{ -3}+2)^7{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(-3)=-16{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(-3)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-\infty;-2) \) функция отрицательна и пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Найдем значение функции \(\displaystyle f(0).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=(\color{red}{ x}-1)^2(\color{red}{ x}+2)^7{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=0{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ 0})=(\color{red}{ 0}-1)^2(\color{red}{ 0}+2)^7{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(0)=128{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(0)>0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-2;1) \) функция положительна и пишем знак \(\displaystyle +{\small : }\)
Найдем значение функции \(\displaystyle f(2).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=(\color{red}{ x}-1)^2(\color{red}{ x}+2)^7{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=2{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ 2})=(\color{red}{ 2}-1)^2(\color{red}{ 2}+2)^7{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(2)=4^7{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(2)>0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (1;+\infty) \) функция положительна и пишем знак \(\displaystyle +{\small : }\)
Таким образом,
