Для данного неравенства
\(\displaystyle -x^4(x+3)^2 < 0\)
укажите знаки, принимаемые выражением \(\displaystyle -x^4(x+3)^2\) на промежутках.
Обозначим \(\displaystyle f(x)=-x^4(x+3)^2{\small .} \) Определим знаки функции \(\displaystyle f(x) \) на соответствующих интервалах.
Для нахождения знака функции на интервале возьмем произвольное значение переменной из этого интервала и подставим его в функцию.
Сопоставим по порядку для функции \(\displaystyle f(x)=-x^4(x+3)^2\) данные интервалы и значение переменной из этого интервала.
| Интервал | Число из интервала | Значение функции на интервале |
| \(\displaystyle (-\infty;-3) \) | \(\displaystyle x=-4\) | \(\displaystyle f(-4) \) |
| \(\displaystyle (-3;0) \) | \(\displaystyle x=-2\) | \(\displaystyle f(-2) \) |
| \(\displaystyle (0;+\infty) \) | \(\displaystyle x=1\) | \(\displaystyle f(1) \) |
Найдем значение функции \(\displaystyle f(-4).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\color{red}{ x}^4(\color{red}{ x}+3)^2{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-4{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ -4})=-\color{red}{ (-4)}^4(\color{red}{ -4}+3)^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(-4)=-4^4{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(-4)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-\infty;-3) \) функция отрицательна и пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Найдем значение функции \(\displaystyle f(-2).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\color{red}{ x}^4(\color{red}{ x}+3)^2{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-2{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ -2})=-\color{red}{ (-2)}^4(\color{red}{ -2}+3)^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(-2)=-16{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(-2)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-3;0) \) функция отрицательна и пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Найдем значение функции \(\displaystyle f(1).\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\color{red}{ x}^4(\color{red}{ x}+3)^2{ \small .} \)
Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=1{\small : }\)
\(\displaystyle f(\color{red}{ 1})=-\color{red}{ 1}^4(\color{red}{ 1}+3)^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle f(1)=-16{\small .} \)
Значит, \(\displaystyle f(1)<0{\small .} \)
Следовательно, на интервале \(\displaystyle (0;+\infty) \) функция отрицательна и пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)
Таким образом,
