Выберите верные знаки и обозначения точек на числовой прямой для выражения \(\displaystyle (x-1)(x-3)^3\) при решении неравенства методом интервалов:
\(\displaystyle (x-1)(x-3)^3 \le 0{\small .}\)
Найдем корни многочлена \(\displaystyle (x-1)(x-3)^3{\small : } \)
\(\displaystyle (x-1)(x-3)^3 =0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x-1=0 \) или \(\displaystyle (x-3)^3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=1 \) или \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=1 \) или \(\displaystyle x=3{\small .} \)
Знак неравенства нестрогий, поэтому точки соответствующих корней многочлена на числовой прямой изображаются закрашенными:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-3)^3\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-3)^3\) в произвольно выбранной точке интервала.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=(0-1)(0-3)^3>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (1;3)\) выберем \(\displaystyle x=2 \in (1;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=2 { \small :}\)
\(\displaystyle f(2)=(2-1)(2-3)^3<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;3){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 { \small :}\)
\(\displaystyle f(4)=(4-1)(4-3)^3>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)
