Выберите верные знаки и обозначения точек на числовой прямой для выражения \(\displaystyle \frac{x+9}{x+9}\) при решении неравенства методом интервалов:
\(\displaystyle \frac{x+9}{x+9} \ge 0{\small .}\)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x+9 \) и знаменателя \(\displaystyle x+9{\small : } \)
\(\displaystyle x+9=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=-9{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Поскольку \(\displaystyle x=-9 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;-9)\) и \(\displaystyle (-9;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x+9}{x+9}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x+9}{x+9}\) в произвольно выбранной точке интервала.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;-9)\) выберем \(\displaystyle x=-10 \in (-\infty;-9){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-10{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{-10+9}{-10+9}>0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;-9){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (-9;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=0\in (-9;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{0+9}{0+9}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-9;+\infty){\small :}\)
Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;-9)\) и \(\displaystyle (-9;+\infty){\small :}\)
