Skip to main content

Теория: Точки и знаки в методе интервалов

Задание

Сопоставьте неравенства с данными моделями по точкам на числовой прямой.

Перетащите сюда правильный ответ
Перетащите сюда правильный ответ
Перетащите сюда правильный ответ
Перетащите сюда правильный ответ

 

Решение

Сопоставим каждому неравенству модель.

Неравенство \(\displaystyle (x-1)(x-2)\ge 0 \)

Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2){\small : } \)

\(\displaystyle (x-1)(x-2) =0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x-1=0 \) или \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=1 \) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)


Поскольку знак неравенства нестрогий, то нули на рисунке изображаются закрашенными:

Неравенство \(\displaystyle \frac{x-2}{ x-1 }\le 0 \)

Найдем корни числителя \(\displaystyle x-2\) и знаменателя \(\displaystyle x-1{\small : } \)

\(\displaystyle x-2=0 \) или \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=2\) или \(\displaystyle x=1{\small .} \)

Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=2\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Точка \(\displaystyle x=1 \) обращает в ноль знаменатель и обозначается выколотой. Получаем:

Неравенство \(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-1)(x-2) }\ge 0 \)

Найдем корни знаменателя \(\displaystyle (x-1)(x-2){\small : } \)

\(\displaystyle (x-1)(x-2) =0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x-1=0 \) или \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=1 \) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)


Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=2 \) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми. Получаем:

Неравенство \(\displaystyle \frac{ x-1}{ x-2 }\le 0 \)

Найдем корни числителя \(\displaystyle x-1 \) и знаменателя \(\displaystyle x-2{\small : } \)

\(\displaystyle x-1=0 \) или \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=1 \) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)


Поскольку знак неравенства нестрогий, то 

  • все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
  • все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.

Так как \(\displaystyle x=1\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Точка \(\displaystyle x=2\) обращает в ноль знаменатель и обозначается выколотой. Получаем: