Теория: Точки и знаки в методе интервалов

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;1) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)\) положительна:

\(\displaystyle f(0)=(0-1)(0-2)>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5\in (1;2){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (1;2) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)\) отрицательна:

\(\displaystyle f(1{,}5)=(1{,}5-1)(1{,}5-2)<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=3\in (2;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)\) положительна:

\(\displaystyle f(3)=(3-1)(3-2)>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small :}\)

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)^2\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)^2\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;1) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)^2\) отрицательна:

\(\displaystyle f(0)=(0-1)(0-2)^2<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5\in (1;2){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (1;2) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)^2\) положительна:

\(\displaystyle f(1{,}5)=(1{,}5-1)(1{,}5-2)^2>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=3\in (2;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x-2)^2\) положительна:

\(\displaystyle f(3)=(3-1)(3-2)^2>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small :}\)

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{ x-2 }\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{ x-2 }\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;1) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{ x-2 }\) отрицательна:

\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-1)^2}{ 0-2 }<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5\in (1;2){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (1;2) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{ x-2 }\) отрицательна:

\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{(1{,}5-1)^2}{ 1{,}5-2 }<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=3\in (2;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{ x-2 }\) положительна:

\(\displaystyle f(3)=\frac{(3-1)^2}{ 3-2 }>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small :}\)

Посмотрим на рисунок:

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^2}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^2}\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;1) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^2}\) отрицательна:

\(\displaystyle f(0)=\frac{0-1}{(0-2)^2}<0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5\in (1;2){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (1;2) \) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^2}\) положительна:

\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{ 1{,}5-1}{ (1{,}5-2)^2 }>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=3\in (2;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{(x-2)^2}\) положительна:

\(\displaystyle f(3)=\frac{ 3-1}{ (3-2)^2 }>0{\small .}\)

Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small :}\)