Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ x-3 }> \frac{ 2}{ x-2 } {\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle \frac{1}{x-3}> \frac{2}{x-2}{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{1}{x-3}-\frac{2}{x-2}>0{\small . } \)
Получаем следующее неравенство:
\(\displaystyle \frac{4-x}{(x-3)(x-2)}>0{\small. } \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle 4-x\) и знаменателя \(\displaystyle (x-3)(x-2){\small : } \)
\(\displaystyle 4-x=0\) или \(\displaystyle (x-3)(x-2)=0 { \small ,}\)
\(\displaystyle x=4\) или \(\displaystyle x-3=0 \) или \(\displaystyle x-2=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=4\) или \(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=2{\small .} \)
Поскольку знак неравенства строгий, то все нули числителя и знаменателя на числовой прямой обозначаются выколотыми:
Получили четыре интервала:
\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3){ \small ,} \, (3;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{4-x}{(x-3)(x-2)}>0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, то
\(\displaystyle (-\infty;2)\cup(3;4)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2)\cup(3;4){\small .}\)