Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle \frac{4}{x-5}\geqslant -x{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{4}{x-5}+x\geqslant 0{\small. } \)
Преобразуем левую часть неравенства к виду рациональной дроби.
\(\displaystyle \frac{4}{x-5}+x\geqslant 0{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{4+x(x-5)}{ x-5 }\geqslant 0{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{4+x^2-5x}{x-5}\geqslant 0{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x^2-5x+4}{x-5}\geqslant 0{\small. } \)
Получаем следующее неравенство:
\(\displaystyle \frac{x^2-5x+4}{x-5}\geqslant 0{\small. } \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-5x+4 \) и знаменателя \(\displaystyle x-5{\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-5x+4=0{\small : } \)
\(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=4\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-5x+4=0\)
Решим квадратное уравнение
\(\displaystyle x^2-5x+4=0{ \small .} \)
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{9}=3{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-(-5)-3}{2}=\frac{2}{2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-5)+3}{2}=\frac{8}{2}=4{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x_1=1 \) и \(\displaystyle x_2=4 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-5x+4=0{\small .} \)
- решим уравнение \(\displaystyle x-5=0{\small : } \)
\(\displaystyle x=5{\small.} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=1\) и \(\displaystyle x=4 \) обращают в ноль числитель и не обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются закрашенными. Поскольку \(\displaystyle x=5 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили четыре интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;4){ \small ,} \, (4;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-5}\) на каждом из интервалов.
Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель дроби на множители, используя найденные корни.
Памятка – разложение на множители квадратного трехчлена
Формула разложения на множители квадратного трехчлена:
Правило\(\displaystyle \color{red}ax^2+bx+c=\color{red}a(x-\color{blue}{x_1})(x-\color{blue}{x_2}),\)
где \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни соответствующего квадратного уравнения.
То есть
\(\displaystyle x^2-5x+4=(x-1)(x-4).\)
Перепишем исходное неравенство в виде
\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-4)}{x-5}\geqslant 0{\small .} \)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{x-5}\) на каждом из интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-1)(0-4)}{0-5}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (1;4)\) выберем \(\displaystyle x=2{\small :}\)
\(\displaystyle f(2)=\frac{(2-1)(2-4)}{2-5}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (1;4){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (4;5)\) выберем \(\displaystyle x=4{,}5{\small :}\)
\(\displaystyle f(4{,}5)=\frac{(4{,}5-1)(4{,}5-4)}{4{,}5-5}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (4;5){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6{\small :}\)
\(\displaystyle f(6)=\frac{(6-1)(6-4)}{6-5}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-4)}{x-5}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают граничные невыколотые точки , то
\(\displaystyle [1;4]\cup (5;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in [1;4]\cup (5;+\infty){\small .}\)