Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle \frac{x}{x-3}\geqslant \frac{4}{x-4}{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x}{x-3}- \frac{4}{x-4}\geqslant 0{\small .} \)
Преобразуем левую часть неравенства к виду рациональной дроби.
\(\displaystyle \frac{x}{x-3}-\frac{4}{x-4}\geqslant 0{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x(x-4)-4(x-3)}{(x-3)(x-4)}\geqslant 0{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x^2-4x-4x+12}{(x-3)(x-4)}\geqslant 0{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x^2-8x+12}{(x-3)(x-4)}\geqslant 0{\small. } \)
Получаем следующее неравенство:
\(\displaystyle \frac{x^2-8x+12}{(x-3)(x-4)}\geqslant 0{\small. } \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x^2-8x+12 \) и знаменателя \(\displaystyle (x-3)(x-4){\small : } \)
- решим уравнение \(\displaystyle x^2-8x+12=0{\small : } \)
\(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=6\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-8x+12=0\)
Решим квадратное уравнение
\(\displaystyle x^2-8x+12=0{ \small .} \)
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (-8)^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 16}=4{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-(-8)-4}{2}=\frac{4}{2}=2{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-8)+4}{2}=\frac{12}{2}=6{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=6 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-8x+12=0{\small .} \)
- решим уравнение \(\displaystyle (x-3)(x-4)=0{\small : } \)
\(\displaystyle (x-3)(x-4)=0 { \small ,} \)
\(\displaystyle x-3=0\) или \(\displaystyle x-4=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=4{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=6\) обращают в ноль числитель и не обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются закрашенными. Поскольку \(\displaystyle x=3 \) и \(\displaystyle x=4 \) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми:
Получили пять интервалов:
\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3){ \small ,} \, (3;4) { \small ,} \, (4;6)\) и \(\displaystyle (6;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-8x+12}{(x-3)(x-4)}\) на каждом из интервалов.
Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим числитель дроби на множители, используя найденные корни.
Памятка – разложение на множители квадратного трехчлена
Формула разложения на множители квадратного трехчлена:
Правило\(\displaystyle \color{red}ax^2+bx+c=\color{red}a(x-\color{blue}{x_1})(x-\color{blue}{x_2}),\)
где \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни соответствующего квадратного уравнения.
То есть
\(\displaystyle x^2-8x+12=(x-2)(x-6){\small .}\)
Перепишем исходное неравенство в виде
\(\displaystyle \frac{(x-2)(x-6)}{(x-3)(x-4)}\geqslant 0{\small .} \)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)(x-6)}{(x-3)(x-4)}\) на каждом из интервалов.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{(0-2)(0-6)}{(0-3)(0-4)}=\frac{-2\cdot(-6)}{-3\cdot(-4)}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\)
\(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{(2{,}5-2)(2{,}5-6)}{(2{,}5-3)(2{,}5-4)}=\frac{0{,}5\cdot(-3{,}5)}{-0{,}5\cdot(-1{,}5)}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (3;4)\) выберем \(\displaystyle x=3{,}5{\small :}\)
\(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{(3{,}5-2)(3{,}5-6)}{(3{,}5-3)(3{,}5-4)}=\frac{1{,}5\cdot(-2{,}5)}{0{,}5\cdot(-0{,}5)}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;4){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (4;6)\) выберем \(\displaystyle x=5{\small :}\)
\(\displaystyle f(5)=\frac{(5-2)(5-6)}{(5-3)(5-4)}=\frac{3\cdot(-1)}{2\cdot1}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (4;6){\small .}\)
Для интервала \(\displaystyle (6;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=7{\small :}\)
\(\displaystyle f(7)=\frac{(7-2)(7-6)}{(7-3)(7-4)}=\frac{5\cdot1}{4\cdot3}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (6;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{(x-2)(x-6)}{(x-3)(x-4) }\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция положительна, и включают невыколотые граничные точки (таких точек в данном случае нет), то
\(\displaystyle (-\infty;2]\cup(3;4)\cup[6;+\infty)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;2]\cup(3;4)\cup[6;+\infty){\small .}\)