Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{27^4}{3^6}:9^2=\)
Представим выражение в виде дроби:
\(\displaystyle \frac{27^4}{3^6}:9^2=\frac{27^4}{3^6\cdot9^2}{\small.}\)
Сведем степени к одинаковым основаниям.
Для этого представим \(\displaystyle 27\) как \(\displaystyle 3^3\) и \(\displaystyle 9\) как \(\displaystyle 3^2{\small:}\)
\(\displaystyle\frac{\color{green}{27}^4}{3^6\cdot\color{blue}{9}^2}=\frac{\left(\color{green}{3^3}\right)^4}{3^6\cdot\left(\color{blue}{3^2}\right)^2}{\small.}\)
Раскроем скобки. По правилу степени в степени показатели этих степеней перемножаются.
То есть
\(\displaystyle\frac{\left({3^3}\right)^4}{3^6\cdot\left({3^2}\right)^2}=\frac{3^{3\cdot4}}{3^6\cdot3^{2\cdot2}}=\frac{3^{12}}{3^{6}\cdot3^4}{\small.}\)
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются. А при делении вычитаются.
Значит,
\(\displaystyle \frac{3^{12}}{3^{6}\cdot3^4}=\frac{3^{12}}{3^{6+4}}=\frac{3^{12}}{3^{10}}=3^{12-10}=3^2=9{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle\frac{27^4}{3^6}:9^2=\frac{27^4}{3^6\cdot9^2}=\frac{\left({3^3}\right)^4}{3^6\cdot\left({3^2}\right)^2}=\frac{3^{3\cdot4}}{3^6\cdot3^{2\cdot2}}=\frac{3^{12}}{3^{6}\cdot3^4}=3^{12-10}=9{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small.}\)