Найдите значение выражения
\(\displaystyle \frac{a^2\cdot(b^2)^6}{(2ab)^6}\) при \(\displaystyle a=3\) и \(\displaystyle b=6{\small.}\)
Упростим выражение, используя свойства степеней.
Раскроем скобки:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(b^2\right)^6=b^{2\cdot6}=b^{12}}{\small,}\)
- \(\displaystyle \color{blue}{(2ab)^6=2^6a^6b^6}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{a^2\cdot\color{green}{(b^2)^6}}{\color{blue}{(2ab)^6}}=\frac{a^2\cdot\color{green}{b^{12}}}{\color{blue}{2^6a^6b^6}}{\small.}\)
Сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{\cancel{a^2}\cdot{b^{\cancel{12}\backslash6}}}{{2^6a^{\cancel{6}\backslash4}\cancel{b^6}}}=\frac{b^6}{2^6a^4}{\small.}\)
Подставим заданные в условии значения \(\displaystyle a=3\) и \(\displaystyle b=6{\small:}\)
\(\displaystyle \frac{b^6}{2^6a^4}=\frac{6^6}{2^6\cdot3^4}{\small.}\)
Сократим дробь. Разложим \(\displaystyle 6\) на простые множители:
\(\displaystyle 6=2\cdot3{\small.}\)
Подставим в исходное выражение:
\(\displaystyle \frac{6^6}{2^6\cdot3^4}=\frac{(2\cdot3)^6}{2^6\cdot3^4}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle (2\cdot3)^6=2^6\cdot3^6{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle \frac{(2\cdot3)^6}{2^6\cdot3^4}=\frac{\cancel{2^6}\cdot3^6}{\cancel{2^6}\cdot3^4}=3^2=9{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small.}\)