Skip to main content

Теория: 11 Применение формулы суммы \(\displaystyle n\) первых членов геометрической прогрессии для вычисления суммы последовательности (параметры)

Задание

Используя формулу вычисления суммы геометрической прогрессии, сверните сумму

\(\displaystyle S=1+x+x^2+\ldots+x^{10}=\)
\frac{1-x^{11}}{1-x}
Решение

Посмотрим на выражение  

\(\displaystyle S=1+x+x^2+\ldots+x^{10}\small.\) 

Это сумма первых одиннадцати членов геометрической прогрессии

\(\displaystyle 1,\,x,\,x^2,\,\ldots,\,x^{10}\small.\)

Первый член этой геометрической пргрессии \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q=x\small.\)

Упростим выражение, используя формулу суммы геометрической прогрессии.

Правило

Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии

Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна

\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)

где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.

Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{11}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{x}{\small:}\)

\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-\color{green}{x}^{\color{red}{11}}\right)}{1-\color{green}{x}}=\frac{1-x^{11}}{1-x}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle S= \frac{1-x^{11}}{1-x}{\small .} \)