Вычислите сумму \(\displaystyle S=1+2x+4x^2+\ldots+1024x^{10}\small.\)
Запишем последовательность, составленную из слагаемых данной суммы:
\(\displaystyle 1,\,2x,\,4x^2,\,8x^3,\,\ldots,\,1024x^{10}\small.\)
Каждый последующий элемент получен из предыдущего умножением на \(\displaystyle {2x}\small.\)
Значит, это геометрическая прогрессия, в которой \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q={2x}\small.\)
Найдем сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии, используя формулу.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{11}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{2x}{\small:}\)
\(\displaystyle 1+2x+(2x)^2+(2x)^3+\ldots+(2x)^{10}=S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-\left(\color{green}{2x}\right)^{\color{red}{11}}\right)}{1-\left(\color{green}{2x}\right)}=\frac{1-\left(2x\right)^{11}}{1-2x}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S= \frac{1-\left(2x\right)^{11}}{1-2x}{\small .} \)