Сверните сумму \(\displaystyle S=1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{20}\small.\)
Запишем последовательность, составленную из слагаемых данной суммы:
\(\displaystyle 1,\,x^2,\,x^4,\,x^6,\,\ldots,\,x^{20}\small.\)
Каждый последующий элемент получен из предыдущего умножением на \(\displaystyle {x^{2}}\small.\)
Значит, это геометрическая прогрессия, в которой \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q={x^{2}}\small.\)
Найдем сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии, используя формулу.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{11}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{x^2}{\small:}\)
\(\displaystyle 1+x^2+\left(x^2\right)^2+\left(x^2\right)^3+\ldots+\left(x^2\right)^{10}=S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-\left(\color{green}{x^2}\right)^{\color{red}{11}}\right)}{1-\color{green}{x^2}}=\frac{1-x^{22}}{1-x^2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=\frac{1-x^{22}}{1-x^2}{\small .} \)