Сверните сумму \(\displaystyle S=1-x+x^2-\ldots-x^{11}\small.\)
Запишем последовательность, составленную из слагаемых данной суммы:
\(\displaystyle 1,\,-x,\,x^2,\,-x^3,\,\ldots,\,-x^{11}\small.\)
Каждый последующий элемент получен из предыдущего умножением на \(\displaystyle {-x}\small.\)
Значит, это геометрическая прогрессия, в которой \(\displaystyle b_1=1\) и знаменатель \(\displaystyle q={-x}\small.\)
Найдем сумму первых двенадцати членов этой прогрессии, используя формулу.
Формула суммы первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии
Сумма \(\displaystyle S_{\color{red}{n}}=\color{blue}{b_1}+b_2+\ldots+b_{\color{red}{n}} \) первых \(\displaystyle n \) членов геометрической прогрессии равна
\(\displaystyle S_{\color{red}{n}}= \frac{ \color{blue}{b_1}(1-\color{green}{q}^{\color{red}{n}})}{ 1-\color{green}{q} } \small,\)
где \(\displaystyle \color{green}{q}\) – знаменатель прогрессии.
Подставим в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{12}\small,\) \(\displaystyle \color{blue}{b_1}=\color{blue}{1}\) и \(\displaystyle \color{green}{q}=\color{green}{-x}{\small:}\)
\(\displaystyle 1+(-x)+(-x)^2+\ldots+(-x)^{11}=S=\frac{\color{blue}{1}\cdot\left(1-(\color{green}{-x})^{\color{red}{12}}\right)}{1-(\color{green}{-x})}=\frac{1-x^{12}}{1+x}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S= \frac{1-x^{12}}{1+x}{\small .} \)