Skip to main content

Теория: 10 Промежутки возрастания и убывания функции (функция задана графически)

Задание

Функция \(\displaystyle y=f(x)\) задана на интервале \(\displaystyle (-2;\,7)\) с помощью графика:


 

Распределите промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства функции:

 \(\displaystyle f(x)>0\)  Перетащите сюда правильный ответ  
 \(\displaystyle f(x)<0\)  Перетащите сюда правильный ответ  
 \(\displaystyle f(x)\) возрастает  Перетащите сюда правильный ответ  
 \(\displaystyle f(x)\) убывает Перетащите сюда правильный ответ  
Решение

Найдём промежутки знакопостоянства функции.

\(\displaystyle f(x)>0\) при каждом \(\displaystyle x\) из \(\displaystyle \color {red}{(-2;\,1)} \) и \(\displaystyle \color {red}{(3;\,5)} \small.\)

Положительные значения функции соответствуют точкам графика, ординаты (координаты \(\displaystyle y\)) которых больше нуля.

То есть это все точки графика, лежащие выше оси \(\displaystyle Ox\small.\) 

 


На оси \(\displaystyle Ox\small\) таким точкам соответствуют все точки между \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 1 {\small }\) и между \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5 {\small .}\)

То есть функция принимает положительные значения при каждом \(\displaystyle x\) из \(\displaystyle \color {red}{(-2;\,1)} \) и \(\displaystyle \color {red}{(3;\,5)} \small.\)

\(\displaystyle f(x)<0\) при каждом \(\displaystyle x\) из \(\displaystyle \color {#00cc00}{(1;\,3)}\) и \(\displaystyle \color{#00cc00}{(5;\,7)}\small.\)

Найдём промежутки возрастания и убывания функции.

\(\displaystyle f(x)\) возрастает при \(\displaystyle x \in \color {magenta} {(-2;\,-1 ]} \) и при \(\displaystyle x \in\color {magenta} {[2;\,4 ]} \small.\)

\(\displaystyle f(x)\) убывает при \(\displaystyle x \in \color {#0099ff}{[-1;\,2]} \) и при \(\displaystyle x \in \color {#0099ff}{[4;\,7)} \small.\)

Информация

Пусть функция определена на некотором промежутке. Тогда на этом промежутке:

  • функция возрастает, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции;
  • функция убывает, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

 


Видим, что функция

  • возрастает на промежутках \(\displaystyle \color {magenta} {(-2;\,-1]} \) и \(\displaystyle \color {magenta} {[2;\,4]} \small.\)
  • убывает на промежутках \(\displaystyle \color {#0099ff}{[-1;\,2]} \) и \(\displaystyle \color {#0099ff}{[4;\,7)} \small.\)

Получаем ответ:

 \(\displaystyle f(x)>0\) \(\displaystyle {(-2;\,1)} \)  \(\displaystyle {(3;\,5)} \small\)
 \(\displaystyle f(x)<0\) \(\displaystyle {(1;\,3)} \)  \(\displaystyle {(5;\,7)} \small\)
 \(\displaystyle f(x)\) возрастает \(\displaystyle {(-2;\,1]} \)  \(\displaystyle {[2;\,4]} \small\)
 \(\displaystyle f(x)\) убывает\(\displaystyle {[-1;\,2]} \)  \(\displaystyle {[4;\,7)} \small\)