Какие из данных чисел можно представить в виде конечной десятичной дроби?
Представим данные числа в виде несократимых дробей.
| \(\displaystyle \frac{65}{52}=\frac{13\cdot 5}{13\cdot 4}=\frac{5}{4}\small,\) | \(\displaystyle \frac{85}{51}=\frac{17\cdot 5}{17\cdot 3}=\frac{5}{3}\small,\) |
| \(\displaystyle \frac{20}{44}=\frac{4\cdot 5}{4\cdot 11}=\frac{5}{11}\small,\) | \(\displaystyle \frac{154}{55}=\frac{11\cdot 14}{11\cdot 5}=\frac{14}{5}\small.\) |
Разделим \(\displaystyle 5\) на \(\displaystyle 4\) в столбик:
| шаг 1 | шаг 2 | шаг 3 | ||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{5}\) | \(\displaystyle 4\) | ||||||||
| Вычитаем 4 из 5 | Шаг 1 | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle \color{blue}{1}\) | \(\displaystyle ,\) | \(\displaystyle \color{green}{2}\) | \(\displaystyle \color{magenta}{5}\) | ||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{1}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | ||||||||
| Вычитаем 8 из 10 | Шаг 2 | \(\displaystyle 8\) | ||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{2}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | ||||||||
| Вычитаем 20 из 20 | Шаг 3 | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||
| \(\displaystyle 0\) |
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{5}{4}=\color{blue}{1}{,}\color{green}{2}\color{magenta}{5}\small.\)
Значит, число \(\displaystyle \frac{5}{4}\) можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Разделим \(\displaystyle 5\) на \(\displaystyle 3\) в столбик:
| шаг 1 | шаг 2 | шаг 3 | |||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{5}\) | \(\displaystyle 3\) | |||||||||
| Вычитаем 3 из 5 | Шаг 1 | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle \color{magenta}{1}\) | \(\displaystyle ,\) | \(\displaystyle \color{blue}{6}\) | \(\displaystyle \color{green}{6}\) | \(\displaystyle \dots\) | ||||
| Вычитаем 18 из 20 | Шаг 2 | \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{2}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | |||||||
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 8\) | ||||||||||
| Вычитаем 18 из 20 | Шаг 3 | \(\displaystyle \color{red}{2}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | ||||||||
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 8\) | ||||||||||
| \(\displaystyle \dots\) |
Заметим:
- на втором шаге \(\displaystyle 20\) делили на \(\displaystyle 3{\small,}\) в частное записали цифру \(\displaystyle \color{blue}{6}{\small;}\)
- на третьем шаге \(\displaystyle 20\) делили на \(\displaystyle 3{\small,}\) в частное записали цифру \(\displaystyle \color{green}{6}{\small;}\)
- далее опять нужно будет \(\displaystyle 20\) делить на \(\displaystyle 3 \ldots\)
Этот процесс будет повторяться непрерывно, и на каждом шаге в частное будем записывать цифру \(\displaystyle 6{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{5}{3}=\color{magenta}{1}{,}\color{blue}{6}\color{green}{6}\ldots\),
или
\(\displaystyle \frac{5}{3}={1}{,}(6),\)
получается бесконечная периодическая дробь.
Значит, дробь \(\displaystyle \frac{5}{3}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.
Значит,
числа \(\displaystyle \frac{65}{52}\) и \(\displaystyle \frac{154}{55}\) можно представить в виде конечной десятичной дроби,
числа \(\displaystyle \frac{85}{51}\) и \(\displaystyle \frac{20}{44}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: \(\displaystyle \frac{65}{52}\small\) и \(\displaystyle \frac{154}{55}\small.\)