Последовательность задана рекуррентно:
\(\displaystyle a_1=4{\small,} \) \(\displaystyle a_2=5{\small,} \)\(\displaystyle a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n} \) при \(\displaystyle n \geqslant 2{\small.} \)
Выпишите первые \(\displaystyle 6\) членов последовательности.
\(\displaystyle a_1=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_2=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_3=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_4=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_5=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_6=\)\(\displaystyle {\small.}\)
Известны первые два члена последовательности:
\(\displaystyle \color{blue}{a_1}=\color{blue}{4}{\small,} \) \(\displaystyle \color{green}{a_2}=\color{green}{5}{\small.} \)
Остальные можно найти по рекуррентной формуле
\(\displaystyle a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n} \) при \(\displaystyle n \geqslant \color{orange}{2}{\small.} \)
Будем последовательно подставлять в рекуррентную формулу значения \(\displaystyle n{\small,}\)начиная с \(\displaystyle n=\color{orange}{2}{\small.}\)
При подстановке \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{2}\) в формулу
\(\displaystyle a_{\color{red}{n}+1}=a_{\color{red}{n}-1}+a_{\color{red}{n}} \)
получаем:
\(\displaystyle a_{\color{red}{2}+1}=a_{\color{red}{2}-1}+a_{\color{red}{2}} \)
или
\(\displaystyle a_{3}=\color{blue}{a_1}+\color{green}{a_2} {\small.} \)
Таким образом,
\(\displaystyle a_{3}=\color{blue}{4}+\color{green}{5} =9{\small.} \)
При \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{3}\)получаем:
\(\displaystyle a_{\color{red}{3}+1}=a_{\color{red}{3}-1}+a_{\color{red}{3}} \)
или
\(\displaystyle a_{4}=\color{green}{a_2}+a_3=\color{green}{5}+9=14{\small.} \)
Ответ: \(\displaystyle a_1=4{\small,} \, a_2=5{\small,} \, a_3=9{\small,} \, a_4=14{\small,} \, a_5=23{\small,} \, a_6=37{\small.}\)