Skip to main content

Теория: 06 Числовая последовательность: рекуррентное задание с известными \(\displaystyle a_1\) и \(\displaystyle a_2\)

Задание

Последовательность задана рекуррентно:

\(\displaystyle a_1=4{\small,} \) \(\displaystyle a_2=12{\small,} \)\(\displaystyle a_{n+1}=\frac {a_{n}+a_{n-1}}{2} \) при \(\displaystyle n \geqslant 2{\small.} \)

Выпишите первые \(\displaystyle 6\) членов последовательности.

\(\displaystyle a_1=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_2=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_3=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_4=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_5=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_6=\)
9,5
\(\displaystyle {\small.}\)
Решение

Известны первые два члена последовательности:

\(\displaystyle \color{blue}{a_1}=\color{blue}{4}{\small,} \) \(\displaystyle \color{green}{a_2}=\color{green}{12}{\small.} \)

Остальные можно найти по рекуррентной формуле

\(\displaystyle a_{n+1}=\frac {a_{n-1}+a_{n}}{2} \) при \(\displaystyle n \geqslant \color{orange}{2}{\small.} \)

Будем последовательно подставлять в рекуррентную формулу значения \(\displaystyle n{\small,}\)начиная с \(\displaystyle n=\color{orange}{2}{\small.}\)

Третий член последовательности \(\displaystyle a_3=8{\small.}\)

При подстановке \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{2}\) в формулу

\(\displaystyle a_{\color{red}{n}+1}=\frac{a_{\color{red}{n}-1}+a_{\color{red}{n}}}{2} \)

получаем:

\(\displaystyle a_{\color{red}{2}+1}=\frac{a_{\color{red}{2}-1}+a_{\color{red}{2}} }{2}\)

или

\(\displaystyle a_{3}=\frac{\color{blue}{a_1}+\color{green}{a_2}}{2} {\small.} \)

Таким образом, 

\(\displaystyle a_{3}=\frac{\color{blue}{4}+\color{green}{12}}{2} =8{\small.} \)

\(\displaystyle a_4=10{\small.}\)

\(\displaystyle a_5=9{\small.}\)

\(\displaystyle a_6=9{,}5{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle a_1=4{\small,} \ \ a_2=12{\small,} \ \ a_3=8{\small,} \ \ a_4=10{\small,} \ \ a_5=9{\small,} \ \ a_6=9{,}5{\small.}\)