Последовательность задана рекуррентно:
\(\displaystyle a_1=3{\small,} \) \(\displaystyle a_2=4{\small,} \)\(\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2a_{n-1} \) при \(\displaystyle n \geqslant 2{\small.} \)
Выпишите первые \(\displaystyle 6\) членов последовательности.
\(\displaystyle a_1=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_2=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_3=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_4=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_5=\)\(\displaystyle {\small,}\) \(\displaystyle a_6=\)\(\displaystyle {\small.}\)
Известны первые два члена последовательности:
\(\displaystyle \color{blue}{a_1}=\color{blue}{3}{\small,} \) \(\displaystyle \color{green}{a_2}=\color{green}{4}{\small.} \)
Остальные можно найти по рекуррентной формуле:
\(\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2a_{n-1} \) при \(\displaystyle n \geqslant \color{orange}{2}{\small.} \)
Будем последовательно подставлять в рекуррентную формулу значения \(\displaystyle n{\small,}\)начиная с \(\displaystyle n=\color{orange}{2}{\small.}\)
При подстановке \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{2}\) в формулу
\(\displaystyle a_{\color{red}{n}+1}=a_{\color{red}{n}}+2a_{\color{red}{n}-1} \)
получаем:
\(\displaystyle a_{\color{red}{2}+1}= a_{\color{red}{2}}+2\cdot a_{\color{red}{2}-1} \)
или
\(\displaystyle a_{3}= \color{green}{a_2}+2 \cdot \color{blue}{a_1}{\small.} \)
Таким образом,
\(\displaystyle a_{3}=\color{green}{4}+2 \cdot \color{blue}{3} =10{\small.} \)
Ответ: \(\displaystyle a_1=3{\small,} \ \ a_2=4{\small,} \ \ a_3=10{\small,} \ \ a_4=18{\small,} \ \ a_5=38{\small,} \ \ a_6=74{\small.}\)