Решим неравенство:
\(\displaystyle n^2-n-2\geqslant 0{\small.} \)
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения
\(\displaystyle n^2-n-2= 0{\small.} \)
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 9}=3{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle n_1= \frac{-(-1)-3}{2}=\frac{-2}{2}= \color {red}{-1}{ \small ,}\)
\(\displaystyle n_2=\frac{-(-1)+3}{2}=\frac{4}{2}=\color {blue}{2}{\small .}\)
Для удобства решения неравенства разложим квадратный трёхчлен на множители
\(\displaystyle n^2-n-2= (n-(\color {red}{-1}))(n-\color {blue}{2})=(n+1)(n-2)\)
и решим неравенство
\(\displaystyle (n+1)(n-2) \geqslant 0\)
методом интервалов.
Отметим закрашенными (так как знак неравенства нестрогий) точками найденные корни на числовой прямой:
Получаем три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;-1){ \small ,} \, (-1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(n)=(n+1)(n-2)\) на каждом из данных интервалов:
- для интервала \(\displaystyle (-\infty;-1)\) выберем \(\displaystyle n=-2{\small :}\) \(\displaystyle f(-2)=(-2+1)(-2-2)>0{\small ;}\)
- для интервала \(\displaystyle (-1;2)\) \(\displaystyle n=0{\small :}\) \(\displaystyle f(0)=(0+1)(0-2)<0{\small ;}\)
- для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) \(\displaystyle n=3{\small :}\) \(\displaystyle f(3)=(3+1)(3-2)>0{\small .}\)
Получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle (n+1)(n-2) \geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(n)=(n+1)(n-2)\) положительна, и включают граничные точки, то искомое решение:
\(\displaystyle (-\infty;-1] {\small ;} \ [2; +\infty){\small.}\)
В виде неравенств данное решение может быть записано как
\(\displaystyle n \leqslant -1\) или \(\displaystyle n \geqslant 2{\small.} \)