Теория: Задание формулой n-го члена. Нахождение члена последовательности по заданному условию (решение неравенств)

Решим неравенство:

\(\displaystyle n^2-n-12 > 0{\small.} \)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения

\(\displaystyle n^2-n-12= 0{\small.} \)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-1)^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 49}=7{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle n_1= \frac{-(-1)-7}{2}=\frac{-6 \phantom{1}}{2}= \color {red}{-3}{ \small ,}\)

\(\displaystyle n_2=\frac{-(-1)+7}{2}=\frac{8}{2}=\color {blue}{4}{\small .}\)

Для удобства решения неравенства разложим квадратный трёхчлен на множители 

\(\displaystyle n^2-n-12= (n-(\color {red}{-3}))(n-\color {blue}{4})=(n+3)(n-4)\)

и решим неравенство  

\(\displaystyle (n+3)(n-4) > 0\)

методом интервалов.

Отметим выколотыми (так как знак неравенства строгий) точками найденные корни на числовой прямой:

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;-3){ \small ,} \, (-3;4)\) и \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(n)=(n+3)(n-4)\) на каждом из данных интервалов:

• для интервала \(\displaystyle (-\infty;-3)\) выберем \(\displaystyle n=-4{\small :}\)  \(\displaystyle f(-4)=(-4+3)(-4-4)>0{\small ;}\)
• для интервала \(\displaystyle (-3;4)\) \(\displaystyle n=0{\small :}\)  \(\displaystyle f(0)=(0+3)(0-4)<0{\small ;}\)
• для интервала \(\displaystyle (4;+\infty)\) \(\displaystyle n=5{\small :}\)  \(\displaystyle f(5)=(5+3)(5-4)>0{\small .}\)

Получаем:

Так как решения неравенства  \(\displaystyle (n+3)(n-4) > 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(n)=(n+3)(n-4)\) положительна, то искомое решение: 

\(\displaystyle (-\infty;-3) {\small ;} \ (4; +\infty){\small.}\)

В виде неравенств данное решение может быть записано как 

\(\displaystyle n < -3\) или \(\displaystyle n > 4{\small.} \)