Теория: Задание формулой n-го члена. Нахождение члена последовательности по заданному условию (решение неравенств)

Решим неравенство:

\(\displaystyle 2n^2+n-28 > 0{\small.} \)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения

\(\displaystyle 2n^2+n-28= 0{\small.} \)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= 1^2-4\cdot 2\cdot (-28)=1+224=225\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 225}=15{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle n_1= \frac{-1-15}{4}=\frac{-16 \phantom{1}}{4}= \color {red}{-4}{ \small ,}\)

\(\displaystyle n_2=\frac{-1+15}{4}=\frac{14}{4}=\color {blue}{3{,}5}{\small .}\)

Для удобства решения неравенства разложим квадратный трёхчлен на множители 

\(\displaystyle \color {orange}{2}n^2+n-28= \color {orange}{2}\cdot (n-(\color {red}{-4}))(n-\color {blue}{3{,}5})=2(n+4)(n-3{,}5)\)

и решим неравенство  

\(\displaystyle 2(n+4)(n-3{,}5) > 0\)

методом интервалов.

Отметим выколотыми (так как знак неравенства строгий) точками найденные корни на числовой прямой:

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;-4){ \small ,} \, (-4;3{,}5)\) и \(\displaystyle (3{,}5;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(n)=2(n+4)(n-3{,}5)\) на каждом из данных интервалов:

• для интервала \(\displaystyle (-\infty;-4)\) выберем \(\displaystyle n=-5{\small :}\)  \(\displaystyle f(-5)=2(-5+4)(-5-3{,}5)>0{\small ;}\)
• для интервала \(\displaystyle (-4;3{,}5)\) \(\displaystyle n=0{\small :}\)  \(\displaystyle f(0)=2(0+4)(0-3{,}5)<0{\small ;}\)
• для интервала \(\displaystyle (3{,}5;+\infty)\) \(\displaystyle n=5{\small :}\)  \(\displaystyle f(5)=2(5+4)(5-3{,}5)>0{\small .}\)

Получаем:

Так как решения неравенства  \(\displaystyle 2(n+4)(n-3{,}5) > 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(n)=2(n+4)(n-3{,}5)\) положительна, то искомое решение: 

\(\displaystyle (-\infty;-4) {\small ;} \ (3{,}5; +\infty){\small.}\)

В виде неравенств данное решение может быть записано как 

\(\displaystyle n < -4\) или \(\displaystyle n > 3{,}5{\small.} \)