При каких значениях \(\displaystyle x\) значения выражения
\(\displaystyle \frac{x}{3}+4\)
принадлежат промежутку \(\displaystyle [1;5]{\small ?} \)
\(\displaystyle x\in\)
Значения выражения \(\displaystyle \frac{x}{3}+4\) должны принадлежать промежутку \(\displaystyle [1;5]{\small.}\)
Это означает, что должно выполняться двойное неравенство
\(\displaystyle 1\leqslant \frac{x}{3}+4 \leqslant 5{\small.}\)
Решим его.
Промежуток \(\displaystyle [ 1{,}5;7{,}5 ]{\small }\) – решение двойного неравенства \(\displaystyle 1\leqslant \frac{x}{3}+4 \leqslant 5{\small.}\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{x}{3}+4& \geqslant 1{ \small ,}\\[5px]\frac{x}{3}+4& \leqslant 5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Преобразуем каждое из линейных неравенств в данной системе к простейшему виду.
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{x}{3}& \geqslant 1-4{ \small ,}\\[10px]\frac{x}{3}& \leqslant 5-4{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{x}{3}& \geqslant -3{ \small ,}\\[10px]\frac{x}{3}& \leqslant 1{\small .}\end{aligned}\right.\)
Левая часть каждого неравенства – дробь со знаменателем \(\displaystyle 3{\small .}\)
Умножим обе части каждого неравенства на \(\displaystyle 3{\small ,}\) чтобы избавиться от дробей:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{x}{3}& \geqslant -3 \,{ \small }|\cdot \color{blue}{ 3>0}\\[10px]\frac{x}{3}&\leqslant 1\,\,\,\,\,|\cdot \color{blue}{ 3>0}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 3>0{\small ,}\) знаки неравенств не изменяем. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color {green}{x}&\color {green}{\geqslant -9}{ \small ,}\\\color {red}{x}&\color {red}{\leqslant 3}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим числовые промежутки, соответствующие полученным неравенствам на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Видим, что пересечение соответствующих промежутков – промежуток \(\displaystyle [-9;3]{\small .} \)
То есть решением системы, а значит, и двойного неравенства является отрезок \(\displaystyle [-9;3]{\small .} \)
Это означает, что значения выражения \(\displaystyle \frac{x}{3}+4\) принадлежат промежутку \(\displaystyle [1;5]{\small}\) при \(\displaystyle x\in[-9;3]{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in[-9;3]{\small .} \)