Решите двойное неравенство
\(\displaystyle \frac{1}{2} \leqslant \frac{3x-4}{4} \leqslant \frac{7}{8}{\small.}\)
\(\displaystyle x\in\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{3x-4}{4}& \geqslant \frac{1}{2}{ \small ,}\\[10pt]\frac{3x-4}{4}&\leqslant \frac{7}{8}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Умножим обе части первого неравенства на \(\displaystyle 4{\small ,}\) а второго – на \(\displaystyle 8{\small ,}\) чтобы избавиться от дробей:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{3x-4}{4}& \geqslant \frac{1}{2}{ \small } \,\bigg|\cdot \color{blue}{ 4>0}\\[10pt]\frac{3x-4}{4}&\leqslant \frac{7}{8} \,\bigg|\cdot \color{blue}{ 8>0}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 4{\small }\) и \(\displaystyle 8{\small }\)– положительные числа, знаки неравенств не меняем. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x-4& \geqslant 2{ \small ,}\\2(3x-4)&\leqslant 7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Раскрыв скобки в левой части второго неравенства, получим систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x-4& \geqslant 2{ \small ,}\\6x-8&\leqslant 7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решением данной системы неравенств является отрезок \(\displaystyle [ 2; 2{,}5 ] {\small .} \)
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x& \geqslant 2+4{ \small ,}\\6x&\leqslant 7+8{\small ;}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x& \geqslant 6{ \small ,}\\6x&\leqslant 15{\small .}\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части каждого из неравенств на соответствующий коэффициент при \(\displaystyle x{\small :} \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x& \geqslant 6 \,\,\,\,|:\color{blue}{3>0}\\6x&\leqslant 15 \,|:\color{blue}{6>0}\end{aligned}\right.\)
Так как оба этих коэффициента отрицательны, знаки неравенств изменим на противоположные. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{x} &{\geqslant2}{ \small ,}\\{x}&{\leqslant 2{,}5}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим числовые промежутки, соответствующие данным неравенствам на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Сначала изобразим промежуток, соответствующий неравенству \(\displaystyle {x\geqslant2}{\small :}\)
Здесь же изобразим промежуток, соответствующий неравенству \(\displaystyle {x\leqslant 2{,}5}{\small :}\)
Видим, что пересечение данных промежутков – промежуток \(\displaystyle [2;2{,}5]{\small .} \)
То есть решением системы является отрезок \(\displaystyle [2;2{,}5]{\small .} \)
Таким образом, решением исходной системы, а значит, и двойного неравенства является отрезок \(\displaystyle [2;2{,}5]{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in [2;2{,}5]{\small .} \)