В соревнованиях участвовали \(\displaystyle 105\) мальчиков и \(\displaystyle 140\) девочек.
И мальчиков, и девочек разбили на группы с одинаковым количеством мальчиков и одинаковым количеством девочек в группах.
Какое наибольшее количество групп могло получиться?
Поскольку мальчиков и девочек разбили на группы с одинаковым количеством мальчиков и одинаковым количеством девочек в группах, то количество групп является делителем и числа всех мальчиков, и делителем числа всех девочек.
Таким образом, количество групп является общим делителем числа \(\displaystyle 105\) всех мальчиков и числа \(\displaystyle 140\) всех девочек.
Запишем все делители числа \(\displaystyle 105\small:\)
\(\displaystyle 1, 3,\ 5,\ 7,\ 15,\ 21,\ 35,\ 105\small .\)
Запишем все делители числа \(\displaystyle 140\small:\)
\(\displaystyle 1, \ 2,\ 4, \ 5,\ 7,\ 10,\ 14,\ 20, \ 28,\ 35,\ 70,\ 140\small .\)
Общие делители чисел \(\displaystyle 105\) и \(\displaystyle 140\small:\)
\(\displaystyle 1, \ 5,\ 7,\ 35\small .\)
Это и есть все возможные количества групп.
Тогда наибольшее количество групп – \(\displaystyle 35\small .\)
Ответ: \(\displaystyle 35\small .\)