Из одинаковых вагонов было сформировано \(\displaystyle 3\) поезда. В первом было \(\displaystyle 342\) посадочных места, во втором – \(\displaystyle 494\small,\) в третьем – \(\displaystyle 532\) места.
Сколько мест в одном вагоне, если всего получилось не более \(\displaystyle 60\) вагонов?
Поскольку поезда состоят из вагоном с одинаковым количеством мест, то количество мест в одном вагоне является делителем и числа всех мест в первом поезде, и делителем числа всех мест во втором поезде, и делителем числа всех мест в третьем поезде.
Таким образом, количество мест в одном вагоне является общим делителем числа \(\displaystyle 342\) всех мест в первом поезд, числа \(\displaystyle 494\) всех мест во втором поезде и числа \(\displaystyle 532\) всех мест в третьем поезде.
Запишем все делители числа \(\displaystyle 342\small:\)
\(\displaystyle 1, \ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18,\ 19,\ 38,\ 54,\ 114,\ 171,\ 342\small .\)
Запишем все делители числа \(\displaystyle 494\small:\)
\(\displaystyle 1, \ 2,\ 13,\ 19,\ 26,\ 38,\ 247,\ 494\small.\)
Запишем все делители числа \(\displaystyle 532\small:\)
\(\displaystyle 1, \ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 19,\ 28,\ 38,\ 76,\ 133,\ 266,\ 532\small.\)
Общие делители чисел \(\displaystyle 342\small,\) \(\displaystyle 494\) и \(\displaystyle 532\small:\)
\(\displaystyle 1, \ 2,\ 19,\ 38\small .\)
Значит, в одном вагоне может быть или \(\displaystyle 1\small,\) или \(\displaystyle 2\small,\) или \(\displaystyle 19\small,\) или \(\displaystyle 38\small \) мест.
Выясним, сколько будет получаться вагонов в каждом из случаев.
- Если в каждом вагоне по \(\displaystyle 1\) месту, то в первом поезде \(\displaystyle 342\) вагона, во втором – \(\displaystyle 494\) вагона, в третьем – \(\displaystyle 532\) вагона, всего \(\displaystyle 1368\) вагонов. Тогда условие на общее количество вагонов не выполняется.
- Если в каждом вагоне по \(\displaystyle 2\) места, то в первом поезде \(\displaystyle 171\) вагон, во втором – \(\displaystyle 247\) вагонов, в третьем – \(\displaystyle 266\) вагонов, всего \(\displaystyle 684\) вагона. Тогда условие на общее количество вагонов не выполняется.
- Если в каждом вагоне по \(\displaystyle 19\) месту, то в первом поезде \(\displaystyle 18\) вагонов, во втором – \(\displaystyle 26\) вагона, в третьем – \(\displaystyle 28\) вагонов, всего \(\displaystyle 72\) вагона. Тогда условие на общее количество вагонов не выполняется.
- Если в каждом вагоне по \(\displaystyle 38\) мест, то в первом поезде \(\displaystyle 9\) вагонов, во втором – \(\displaystyle 13\) вагонов, в третьем – \(\displaystyle 14\) вагонов, всего \(\displaystyle 36\) вагонов. Тогда условие на общее количество вагонов выполняется.
Таким образом, в каждом вагоне по \(\displaystyle 38\) мест.
Ответ: \(\displaystyle 38\small .\)