В числе \(\displaystyle 11!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\) случайно стерли одну цифр. Получилось
\(\displaystyle 3991...800\)
Какую цифру стерли?
Число \(\displaystyle 11!\) является произведением одиннадцати чисел, одно из которых \(\displaystyle 9\small.\)
Значит, число \(\displaystyle 11!\) делится на \(\displaystyle 9\small.\)
Следовательно, сумма цифр данного числа делится на \(\displaystyle 9\small.\)
Обозначим стертую цифру через \(\displaystyle x\small.\)
Тогда сумма цифр числа \(\displaystyle 11!\) равна
\(\displaystyle 3+9+9+1+x+8+0+0=30+x\small.\)
Число \(\displaystyle 30\) не делится на \(\displaystyle 9\small.\)
Ближайшее к \(\displaystyle 30\) большее число, кратное \(\displaystyle 9\small,\) – это число \(\displaystyle 36\small.\)
Тогда число \(\displaystyle x\) должно быть \(\displaystyle 6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 6\small.\)