Будем искать приближенное значение \(\displaystyle \sqrt{3}\) постепенно:
- сначала найдём целое число, с которого начинается десятичная запись \(\displaystyle \sqrt{3}{\small ;}\)
- затем – первую цифру после запятой;
- наконец, – до сотых.
Шаг 1. Найдём целое число, с которого начинается десятичная запись \(\displaystyle \sqrt{3}{\small .}\)
Знаем, что \(\displaystyle 3\) лежит между двумя квадратами чисел:
\(\displaystyle 1^2<3<2^2{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle 1<\sqrt{3}<2{\small ,} \)
то есть
\(\displaystyle \sqrt{3}=1{,}\ldots\)
Шаг 2. Найдём цифру в разряде десятых.
Чтобы получить более точное приближение, будем возводить в квадрат числа
\(\displaystyle 1{,}1{\small ;}\ \ 1{,}2{\small ;}\ \ldots{\small ,}\ 1{,}9\)
пока не получим число, большее \(\displaystyle 3{\small. }\)
Для вычислений воспользуемся таблицей квадратов.
Последний квадрат, меньший \(\displaystyle 3\)– это \(\displaystyle 2{,}89=\left(\color{Green}{1{,}7} \right)^2{\small .}\)
Первый квадрат, больший \(\displaystyle 3\)– это \(\displaystyle 3{,}24=\left(\red{1{,}8} \right)^2{\small .}\)
| | Е д и н и ц ы |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{0}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{1}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{2}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{3}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{4}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{5}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{6}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{7}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{8}\) | \(\displaystyle \bf \color{blue}{9}\) |
Д
е
с
я
т
к
и | \(\displaystyle \bf \color{blue}{1}\) | \(\displaystyle 100\) | \(\displaystyle 121\) | \(\displaystyle 144\) | \(\displaystyle 169\) | \(\displaystyle 196\) | \(\displaystyle 225\) | \(\displaystyle 256\) | \(\displaystyle 289\) | \(\displaystyle 324\) | \(\displaystyle 361\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{2}\) | \(\displaystyle 400\) | \(\displaystyle 441\) | \(\displaystyle 484\) | \(\displaystyle 529\) | \(\displaystyle 576\) | \(\displaystyle 625\) | \(\displaystyle 676\) | \(\displaystyle 729\) | \(\displaystyle 784\) | \(\displaystyle 841\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{3}\) | \(\displaystyle 900\) | \(\displaystyle 961\) | \(\displaystyle 1024\) | \(\displaystyle 1089\) | \(\displaystyle 1156\) | \(\displaystyle 1225\) | \(\displaystyle 1296\) | \(\displaystyle 1369\) | \(\displaystyle 1444\) | \(\displaystyle 1521\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{4}\) | \(\displaystyle 1600\) | \(\displaystyle 1681\) | \(\displaystyle 1764\) | \(\displaystyle 1849\) | \(\displaystyle 1936\) | \(\displaystyle 2025\) | \(\displaystyle 2116\) | \(\displaystyle 2209\) | \(\displaystyle 2304\) | \(\displaystyle 2401\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{5}\) | \(\displaystyle 2500\) | \(\displaystyle 2601\) | \(\displaystyle 2704\) | \(\displaystyle 2809\) | \(\displaystyle 2916\) | \(\displaystyle 3025\) | \(\displaystyle 3136\) | \(\displaystyle 3249\) | \(\displaystyle 3364\) | \(\displaystyle 3481\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{6}\) | \(\displaystyle 3600\) | \(\displaystyle 3721\) | \(\displaystyle 3844\) | \(\displaystyle 3969\) | \(\displaystyle 4096\) | \(\displaystyle 4225\) | \(\displaystyle 4356\) | \(\displaystyle 4489\) | \(\displaystyle 4624\) | \(\displaystyle 4761\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{7}\) | \(\displaystyle 4900\) | \(\displaystyle 5041\) | \(\displaystyle 5184\) | \(\displaystyle 5329\) | \(\displaystyle 5476\) | \(\displaystyle 5625\) | \(\displaystyle 5776\) | \(\displaystyle 5929\) | \(\displaystyle 6084\) | \(\displaystyle 6241\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{8}\) | \(\displaystyle 6400\) | \(\displaystyle 6561\) | \(\displaystyle 6724\) | \(\displaystyle 6889\) | \(\displaystyle 7056\) | \(\displaystyle 7225\) | \(\displaystyle 7396\) | \(\displaystyle 7569\) | \(\displaystyle 7744\) | \(\displaystyle 7921\) |
| \(\displaystyle \bf \color{blue}{9}\) | \(\displaystyle 8100\) | \(\displaystyle 8281\) | \(\displaystyle 8464\) | \(\displaystyle 8649\) | \(\displaystyle 8836\) | \(\displaystyle 9025\) | \(\displaystyle 9216\) | \(\displaystyle 9409\) | \(\displaystyle 9604\) | \(\displaystyle 9801\) |
Будем двигаться по первой строке слева направо:
\(\displaystyle \left(1{,}0 \right)^2=1{\small }<3\)
\(\displaystyle \left(1{,}1 \right)^2= \left(\frac{11}{10}\right)^2=\frac{121}{100}=1{,}21<3{\small, }\)
\(\displaystyle \left(1{,}2 \right)^2= \left(\frac{12}{10}\right)^2=\frac{144}{100}=1{,}44<3{\small .}\)
\(\displaystyle \ldots{\small}\)
\(\displaystyle \left(1{,}7 \right)^2= \left(\frac{17}{10}\right)^2=\frac{289}{100}=\color{Green}{2{,}89}<3{\small .}\)
\(\displaystyle \left(1{,}8 \right)^2= \left(\frac{18}{10}\right)^2=\frac{324}{100}=\red{3{,}24}>3{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \left(1{,}7 \right)^2< 3 < \left(1{,}8 \right)^2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 1{,}7<\sqrt{3}<1{,}8{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \sqrt{3}=1{,}7\ldots\)
Шаг 3. Найдём цифру в разряде сотых.
Чтобы получить более точное приближение, будем возводить в квадрат числа
\(\displaystyle 1{,}71{\small ;}\ \ 1{,}72{\small ;}\ \ldots{\small ,}\ 1{,}79\)
пока не получим число, большее \(\displaystyle 3{\small. }\)
Последний квадрат, меньший \(\displaystyle 3\)– это \(\displaystyle 2{,}9929=\left(\color{Green}{1{,}73} \right)^2{\small .}\)
Первый квадрат, больший \(\displaystyle 3\)– это \(\displaystyle 3{,}0276=\left(\red{1{,}74} \right)^2{\small .}\)
Все вычисления на данном этапе проводим аккуратно в столбик или используем формулы сокращенного умножения (и таблицу квадратов двузначных чисел).
\(\displaystyle \left(1{,}71 \right)^2=\left(\frac{171}{100}\right)^2=\frac{(170+1)^2}{10000}=\frac{170^{\,2}+2\cdot 170 \cdot 1+1^{\,2}}{10000}=\frac{28900+340+1}{10000}=\frac{29241}{10000} \color{blue}{<} 3\)
\(\displaystyle \left(1{,}72 \right)^2=\left(\frac{172}{100}\right)^2=\frac{(170+2)^2}{10000}=\frac{170^{\,2}+2\cdot 170 \cdot 2+2^{\,2}}{10000}=\frac{28900+680+4}{10000}=\frac{29584}{10000} \color{blue}{<} 3\)
\(\displaystyle \left(1{,}73 \right)^2=\left(\frac{173}{100}\right)^2=\frac{(170+3)^2}{10000}=\frac{170^{\,2}+2\cdot 170 \cdot 3+3^{\,2}}{10000}=\frac{28900+1020+9}{10000}=\frac{29929}{10000} \color{blue}{<} 3\)
\(\displaystyle \left(1{,}74 \right)^2=\left(\frac{173}{100}\right)^2=\frac{(170+4)^2}{10000}=\frac{170^{\,2}+2\cdot 170 \cdot 4+4^{\,2}}{10000}=\frac{28900+1360+16}{10000}=\frac{30276}{10000} \color{red}{>} 3\)
Получаем:
\(\displaystyle \left(1{,}73 \right)^2< 3 < \left(1{,}74 \right)^2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 1{,}73<\sqrt{3}<1{,}74{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \sqrt{3}=1{,}73\ldots\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{3}=1{,}73\ldots\)