Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle \frac{a^{\,31}\cdot b^{\,-10}: a^{\,-17}\cdot b^{\,23}} {b^{\,19}\cdot a^{\,15}: b^{\,-11}\cdot a^{\,5}}= a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) |
Напомним, что числитель и знаменатель дроби всегда стоят в скобках, которые опускаются для удобства записи:
\(\displaystyle \frac{a^{\,31}\cdot b^{\,-10}: a^{\,-17}\cdot b^{\,23}} {b^{\,19}\cdot a^{\,15}: b^{\,-11}\cdot a^{\,5}}=\frac{\left(a^{\,31}\cdot b^{\,-10}: a^{\,-17}\cdot b^{\,23}\right)} {\left(b^{\,19}\cdot a^{\,15}: b^{\,-11}\cdot a^{\,5}\right)}.\)
Сначала упростим числитель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{green}{a^{\, 31}}\cdot \color{blue}{b^{\, -10}}: \color{green}{a^{\, -17}}\cdot \color{blue}{b^{\,23}}=\color{green}{a^{\,31-(-17)}}\cdot \color{blue}{b^{\, -10+23}}=\color{green}{a^{\,48}}\cdot \color{blue}{b^{\,13}}.\)
Теперь упростим знаменатель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{blue}{b^{\,19}}\cdot \color{green}{a^{\,15}}: \color{blue}{b^{\, -11}}\cdot \color{green}{a^{\,5}}=\color{green}{a^{\,15+5}} \cdot \color{blue}{b^{\,19 -(-11)}}=\color{green}{a^{\, 20}}\cdot \color{blue}{b^{\,30}}. \)
После упрощений наша дробь примет следующий вид:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{a^{\, 31}}\cdot \color{blue}{b^{\, -10}}: \color{green}{a^{\, -17}}\cdot \color{blue}{b^{\,23}}} {\color{blue}{b^{\,19}}\cdot \color{green}{a^{\,15}}: \color{blue}{b^{\, -11}}\cdot \color{green}{a^{\,5}}}=\frac{\color{green}{a^{\,48}}\cdot \color{blue}{b^{\,13}}}{\color{green}{a^{\, 20}}\cdot \color{blue}{b^{\,30}}}.\)
Преобразуем получившуюся дробь, используя правило частного степеней:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{a^{\,48}}\cdot \color{blue}{b^{\,13}}}{\color{green}{a^{\, 20}}\cdot \color{blue}{b^{\,30}}}=\color{green}{a^{\,48-20}}\cdot \color{blue}{b^{\,13-30}}={\bf \color{green}{a^{\, 28}}\cdot \color{blue}{b^{\,-17}}}.\)
Ответ:\(\displaystyle a^{\, 28}\cdot b^{\,-17}.\)